Résolution de l'équation sans second membre (ESSM)
L'équation différentielle \(a(x)\cdot y' + b(x)\cdot y = 0\) n'est résolue en \(y'\) que si \(a(x) \neq 0\).
Cherchons donc l'ensemble des solutions sur un intervalle \(I\) où la fonction \(a\) ne s'annule pas.
Méthode : Principe de résolution
L'équation \(a(x)\cdot y' + b(x)\cdot y = 0\) est équivalente à :
\(y' = \frac{-b(x)}{a(x)}\cdot y\)
La fonction \(\tfrac{-b}{a}\) est continue sur \(I\), elle admet des primitives sur \(I\). Soit \(A\) une primitive de \(\tfrac{-b}{a}\) sur \(I\), il est clair que \(e^A(\cdot)\) est une solution de l'équation sur \(I\).
\(\displaystyle A(x) = \int \frac{-b(x)}{a(x)}dx\), donc : \(A'(x) = \frac{-b(x)}{a(x)}\).
Il vient alors :
\(\begin{array}{l l}a(x)\cdot y' + b(x)\cdot y (x) &= a(x)\cdot \left(e^{A(x)}\right)' + b(x)\cdot e^{A(x)}\\ &= a(x)\cdot \frac{-b(x)}{a(x)}\cdot e^{A(x)} + b(x)\cdot e^{A(x)} = 0\end{array}\)
Soit \(y\) une fonction dérivable sur \(I\) et \(z\) la fonction définie par \(y = z\cdot e^A\). Alors \(z\) est dérivable sur \(I\) et \(y' = z'\cdot e^A + z\cdot A'\cdot e^A = \left(z'-\frac{b}{a} z\right) e^A\) (Relation équivalente à \(y' = \frac{-b(x)}{a(x)}\cdot y\))
C'est-à-dire \(z' = 0\) ou encore \(z = cste\) sur \(I\).
L'ensemble des solutions de \(a(x)\cdot y' + b(x)\cdot y = 0\) est donc l'ensemble des fonctions \(y\) de la forme : \(y(x) = C\cdot e^{A(x)}\), où \(C\) est une constante (réelle ou complexe), et \(A\) une primitive de \(\tfrac{-b(x)}{a(x)}\) sur \(I\).
Fondamental : Théorème
Soit l'équation différentielle sans second membre : \(a(x)\cdot y' + b(x)\cdot y = 0\).
Sur un intervalle \(I\) où la fonction ne s'annule pas, l'ensemble des solutions de cette équation est l'ensemble des fonctions de la forme \(y = C\cdot e^{A}\), où \(A\) est une primitive de \(\tfrac{-b}{a}\) sur \(I\) et \(C\) une constante réelle ou complexe.
Exemple :
Résolution de : \((x-1)\,y' + x\,y = 0\)
\(a(x) = (x-1)\) s'annule en \(x = 1\), on se place donc sur un des intervalles \(]-\infty;1[\) ou \(]1;\infty[\).
\(\displaystyle -\frac{b(x)}{a(x)}=-\frac{x}{x-1}= -\left(\frac{x-1+1}{x-1}\right)= -1-\frac{1}{x-1}\)
On peut choisir : \(A(x) = -x - \ln\left(|x-1|\right)\)
L'ensemble des solutions de l'équation est :
\(\boxed{\left\{ \begin{array}{l} y = C\dfrac{e^{-x}}{1-x}, ~~~\text{sur}~]-\infty;1[,~\text{et}\\ y = C'\dfrac{e^{-x}}{x-1}~~~\text{sur}~]1;\infty[. \end{array} \right.}\)
Conseil : Une petite technique personnelle...
Généralement, lorsque j'ai une équation de ce type à résoudre, je procède comme j'ai appris dans les « petites classes ». En reprenant l'exemple précédent, on peut écrire sur chaque intervalle : \(\displaystyle \frac{y'}{y} = -\frac{b(x)}{a(x)} = -1-\frac{1}{x-1}\)
En intégrant : \(\ln\,|y(x)| = -x - \ln\left(|x-1|\right) + K\), avec \(K\) constante dans \(\mathbb{R}\)
En prenant l’exponentielle : \(|y(x)| = e^K \, e^{-x} \, e^{- \ln\left(|x-1|\right)} = C \frac{e^{-x}}{|1-x|}\) avec \(C\) constante de \(\mathbb{R}^+\).
Et finalement : \(y(x) = C\dfrac{e^{-x}}{1-x}\), avec \(C\) constante de \(\mathbb{R}\).
En pratique, on évitera de conserver les valeurs absolues trop longtemps puisqu'on peut les éliminer à la fin en changeant éventuellement le signe de la constante.