Cas des décompositions

FondamentalDécomposition de Dunford-Jordan

Toute matrice carrée \({\bf A}\) se décompose sous la forme :  \({\bf A} = {\bf D} + {\bf N}\), avec \({\bf D}\) diagonalisable et \({\bf N}\) nilpotente qui commutent.

AttentionCalcul de l'exponentielle dans le cas général

Il en résulte :

\(\exp({\bf A}) = \exp({\bf D}) \cdot \exp({\bf N})\)

Avec :

\(\left\{ \begin{array}{l} \exp({\bf D})= {\bf P}\cdot \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} &\ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n}\\ \end{pmatrix} \cdot {\bf P}^{-1}, \\ \\ \exp({\bf N}) = {\bf I_n} + {\bf N} + \dfrac{{\bf N}^2}{2} + \cdots + \dfrac{{\bf N}^{(q-1)}}{(q-1) !} \end{array} \right.\)

\(~\)

Nous allons voir comment appliquer ceci dans la section suivante.