Rappelons que le but du présent module est de vous permettre de modéliser et simuler par éléments finis des dispositifs typiques de l’électrotechnique / électromécanique correspondant donc à de l’électromagnétisme basse-fréquence. La plage de fréquence concernée va donc du continu $(0~\text{Hz})$ à des valeurs de l’ordre de quelques centaines de $\text{kHz}$.
Considérons que le dispositif étudié est alimenté par une source sinusoïdale (de tension ou de courant) de pulsation $\omega$ et que les lois de comportement électrique et diélectrique des milieux matériels présents sont linéaires. En notant $\tau_c$ le rapport des normes des termes $\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}$ et ${\bf j}$, on obtient après simplifications : $$ \tau_c = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r\,\omega}{\sigma}$$ La table ci-dessous donne quelques valeurs caractéristiques :
| Matériau | $\sigma~(\text{S}\cdot\text{m}^{-1})$ | $\varepsilon_r$ | $\tau_c$ @ $1\,\text{MHz}$ |
|---|---|---|---|
| Cuivre | $58\cdot 10^{6}$ | $1$ | $9,93\cdot 10^{-13}$ |
| Aluminium | $37,7\cdot 10^{6}$ | $1$ | $1,48\cdot 10^{-12}$ |
| Fer pur | $10,4\cdot 10^{6}$ | $1$ | $5,35\cdot 10^{-12}$ |
| Eau salée | $5$ | $80$ | $8,90\cdot 10^{-4}$ |
On constate que, dans tous ces cas, le terme $\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}$ est clairement négligeable devant la densité de courant ${\bf j}$.
Dans la suite, nous le négligerons donc toujours, et nous nous placerons donc systématiquement dans ce qu’on appelle l’Approximation des Régimes Quasi-Statiques (ARQS).
Ainsi, la forme des équations de Maxwell que nous résoudrons dans ce cours est celle dans le cadre de l’ARQS, donnée ci-dessous :
Équations de Maxwell dans l’ARQS : $$\left\{\begin{aligned} \text{div}\,{\bf b} &= 0 & \text{(MT)} \\ \text{div}\,{\bf d} &= \rho_q & \text{(MG)} \\ {\bf rot\,h} &= {\bf j} & \text{(MA)} \\ {\bf rot\,e} &= -\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}~~~ & \text{(MF)} \end{aligned}\right.$$
On remarque que désormais l’équation de Maxwell-Gauss est totalement découplée des autres.
Remarque : La divergence appliquée à (MA), nous donne la loi des nœuds locale : $$\boxed{\text{div}\,{\bf j} = 0}$$