La magnétodynamique (en anglais magnetodynamics) correspond au calcul de la distribution du champ (ou de l’induction) magnétique et des courants induits produits par des courants variables dans le temps et/ou par des sources en mouvement (aimants ou courants).
Considérons un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$ comportant un sous-domaine $\Omega_c$ conducteur électrique, dont la frontière $\Gamma (=\partial\Omega)$ est comme précédemment divisée en deux morceaux $\Gamma_d$ et $\Gamma_n$.
Les équations qui nous concerneront seront :
Le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ est défini comme précédemment et donc ${\bf b} = {\bf rot\,a}$. En le repportant dans l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient : $${\bf rot}\,\left({\bf e}+\frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t}\right) = {\bf 0}$$.
On peut donc définir dans $\Omega_c$ un champ scalaire $v$, potentiel scalaire électrique tel que ${\bf e}-\frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t} = - {\bf grad}\,v$, soit : $$ {\bf e} = -{\bf grad}\,v - \frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t}$$
Et finalement, l’équation de Maxwell-Ampère dans $\Omega_c$ donne : $${\bf rot}\,\left( \mu^{-1}{\bf rot\,a}\right) = \left\{\begin{aligned}-\sigma\left({\bf grad}\,v + \frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t}\right) ~ &~\text{dans }\Omega_c\\{\bf 0}~ &~\text{ailleurs}\end{aligned}\right.$$
La deuxième relation permettant de résoudre est la conservation de la densité de courant dans $\Omega_c$ : $$\text{div}\left( \sigma\left({\bf grad}\,v + \frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t}\right)\right) = 0$$
Les conditions aux limites sont analogues à celles vues en magnétostatique ou électrocinétique.
En combinant les différentes approches vues dans les sections précédentes, on en déduit la formulation faible complète du problème, dite $({\bf a},v)$ :
Trouver ${\bf a} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) = \{ {\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}|_{\Gamma_{d}} = 0\}$ et $v \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_{di}} = v_i\}$, tels que :
$$\left\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\,{\bf rot}\,{\bf a}\,,\,{\bf rot}\,{\bf a’}\right)_{\Omega} + \left(\sigma\,\partial_t\,{\bf a}\,,\,{\bf a’}\right)_{\Omega_c} + \left( \sigma\,{\bf grad}\,v \,,\, {\bf a’}\right)_{\Omega_c} = 0,~ ~\forall\,{\bf a’} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) \\ (\sigma\,{\bf grad}\,v \,,\, {\bf grad}\,v’)_{\Omega_c} + (\sigma\,\partial_t\,{\bf a} \,,\, {\bf grad}\,v’)_{\Omega_c} = 0,~ ~\forall\, v’ \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$