Magnétoharmonique
Dans le cas particulier où les sources sont en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$, nous pourrons utiliser la transformation complexe vue dans le chapitre 1 et résoudre directement en complexe : c’est ce qu’on appelle la magnétoharmonique (certains l’appellent « magnétostatique complexe »).
La formulation faible à résoudre est alors :
Trouver $\underline{\bf a} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) = \{ \underline{\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : \underline{\bf a}\wedge{\bf n}|_{\Gamma_{d}} = 0\}$ et $\underline{v} \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ \underline{u} \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \underline{u}|_{\Gamma_{di}} = \underline{v_i}\}$, tels que :
$$\left\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\,{\bf rot}\,\underline{\bf a}\,,\,{\bf rot}\,\underline{\bf a’}\right)_{\Omega} + \left(\sigma\,j\omega\,\underline{\bf a}\,,\,\underline{\bf a’}\right)_{\Omega_c} + \left( \sigma\,{\bf grad}\,\underline{v} \,,\, \underline{\bf a’}\right)_{\Omega_c} = 0,~ ~\forall\,\underline{\bf a’} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) \\ (\sigma\,{\bf grad}\,\underline{v} \,,\, {\bf grad}\,\underline{v’})_{\Omega_c} + (\sigma\,j\omega\,\underline{\bf a} \,,\, {\bf grad}\,\underline{v’})_{\Omega_c} = 0,~ ~\forall\, \underline{v’} \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
L’implantation dans GetDP n’est pas plus compliquée que ce que nous avons vu jusqu’à présent. Le passage en complexe et la fréquence associée sont précisés dans la partie « Résolution » :
Resolution {
{ Name MagnetoHarmonique_2D;
System {
{ Name A; NameOfFormulation MagnetoHarmonique_2D;
Type ComplexValue; Frequency freq;
}
}
Operation {
Generate[A];
Solve[A];
SaveSolution[A];
}
}
}
Et la multiplication par $j\omega$ dans la formulation peut-être faite (au choix) :
- directement via un terme
Complex[0,1]*2*Pi*freqdans les expressions ; - ou en utilisant
DtDofqui permet de définir une dérivée temporelle des degrés de liberté.
Applications
Barre cylindrique
À titre d’exemple, je vous propose de résoudre numériquement l’exercice sur la barre cylindre alimentée en alternatif.
Le modèle est téléchargeable ici .
Observer l’effet de peau ainsi que l’évolution de la résistance du conducteur en fonction de la fréquence :
Câble triphasé
Modifier les programmes précédents afin de modéliser une ligne triphasée et observer l’effet de proximité à 50 Hz :
