Modèle discret

Idée derrière la MEF

L’idée de base derrière la méthode des éléments finis est l’approche classique consistant à décomposer un problème compliqué en une multitude de petits problèmes beaucoup plus simples à résoudre :

  1. Pour calculer chaque terme intégral de la formulation faible, nous allons les décomposer sur une partition du domaine d’étude qu’on appelle le maillage.
  2. Sur chaque élément de ce maillage nous allons définir des fonctions simples (polynomiales) qui nous permettront de générer un sous-espace de dimension finie de l’espace fonctionnel auquel appartient notre inconnue (qui, lui, est de dimension infinie).
  3. Nous calculerons alors la projection de la solution de la forme faible dans cet espace discret qui sera alors la meilleure approximation de la solution sur le maillage.

Exemple fil rouge (Running Example)

Pour illustrer les différents aspects abordés dans la suite, on utilisera l’exemple simple donné par la figure suivante :

Représentation de notre problème exemple

Nous avons donc un problème de Poisson avec conditions de Dirichlet et Neumann, dont la formulation forte peut s’écrire :

$$\left\{\begin{aligned} \text{div} \left({\bf grad}\,u \right) + \beta &= 0, ~\text{dans}~\Omega\\ u|_{\Gamma_d} &= 0\\ \partial_n u|_{\Gamma_n} &= \gamma = 1 \end{aligned}\right.$$

avec $\beta$ définie par morceaux par : $$\left\{\begin{aligned} \beta &= 1 ~ ~\text{ dans }~ ~ \Omega_s \\ \beta &= 0 ~ ~\text{ dans }~ ~ \Omega/\Omega_s \end{aligned}\right.$$

Et d’après la section précédente, la formulation faible est :

$$\begin{aligned}&\text{Trouver}~u \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega) = \left\{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_d} = 0\right\} ~\text{tel que :}\\ &\forall v \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega), \iiint_{\Omega} {\bf grad}\,u \cdot{\bf grad}\,v~\text{d}\Omega - \iiint_{\Omega_s} v ~\text{d}\Omega - \iint_{\Gamma_n} v~\text{d}\Gamma = 0\end{aligned}$$

Soit :

$$\boxed{\begin{aligned}&\text{Trouver}~u \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)~\text{tel que :}\\ &\forall v \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega),~~ \underbrace{\left({\bf grad}\,u,{\bf grad}\,v\right)_{\Omega} }_{a(u,v)}+ \underbrace{\left(-1,v\right)_{\Omega_s} + \left<-1,v\right>_{\Gamma_n}}_{-L(v)} = 0\end{aligned}}$$

$\rightsquigarrow$ C’est cette dernière que nous résoudrons par la suite.