Introduction
De très nombreuses applications des mathématiques conduisent à la recherche d’une fonction assujettie à une certaine relation avec ses dérivées successives. C’est ce qu’on appelle une équation différentielle. L’immense progrès scientifique des XVIIème et XVIIIème siècles, en particulier en astronomie, repose sur la capacité de prévoir le comportement futur d’un système grâce à la résolution d’équations différentielles. Malheureusement, il n’existe pas de méthode systématique pour résoudre exactement toutes les équations différentielles. Nous devrons nous contenter d’étudier quelques cas très simples. Ce sont donc ces derniers que nous aborderons dans cette première partie du cours.
Remarque :
En plus des différentes méthodes de résolution présentées dans ce cours, vous aborderez au moins deux autres méthodes de résolution d'équations différentielles dans le cadre de votre formation. Ces dernières pourrons s'avérer très pratiques lors de l'étude d'équations différentielles linéaires à coefficients non constants. Elles sont :
L'utilisation de développements en séries entières. (Voir cours sur les suites et séries de fonctions).
L'utilisation de la transformée de Laplace et de son inverse. (Voir cours d'analyse, chapitre sur les transformées).