Équations de Maxwell

Les quatre équations de Maxwell sont les relations fondamentales régissant les lois de l’Électromagnétisme.
Leur forme universelle à l’échelle macroscopique est donnée ci-dessous :

Maxwell-Thomson (MT)

$$\text{div}~{\bf b} = 0$$

Maxwell-Gauss (MG)

$$ \text{div}~{\bf d} = \rho_q$$

Maxwell-Ampère (MA)

$$ {\bf rot}~{\bf h} = {\bf j} + \frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}$$

Maxwell-Faraday (MF)

$$ {\bf rot}~{\bf e} = -\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}$$
Important !

S’il n’y avait qu’une seule chose à retenir en électromagnétisme et à connaître par cœur, c’est celle-là.

Astuce

Remarque : En prenant la divergence de chaque terme de l’équation de Maxwell-Ampère, on obtient également l’équation de conservation de la charge :

$$ \text{div}~{\bf j} + \frac{\partial\,\rho_q}{\partial t} = 0$$
Remarque

Petit exercice pour faire une pause :
À partir de la forme générale des équations de Maxwell ci-dessus et des lois de comportement précédentes, retrouver comment sont modifiées les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Gauss que vous aviez l’habitude d’utiliser en premier cycle.

Cliquer pour afficher un indice

On utilisera les lois de comportement générales : ${\bf b} = \mu_0\,({\bf h}+{\bf m})$ et ${\bf d} = \varepsilon_0\,{\bf e}+{\bf p}$.

Cliquer pour afficher la solution

(MG) :

$$\text{div}\,{\bf e} = \frac{\rho_q - \text{div}\,{\bf p}}{\varepsilon_0}$$

On peut alors définir une densité volumique de “charges liées” : $\rho_p = -\text{div}\,{\bf p}$ pour obtenir :

$$\text{div}\,{\bf e} = \frac{\rho_q+\rho_p}{\varepsilon_0}=\frac{\rho_{\text{total}}}{\varepsilon_0}$$

(MA) :

$$ {\bf rot\,b} = \mu_0\,({\bf j}+{\bf rot\,m})+\mu_0\,\left(\varepsilon_0 \frac{\partial\,{\bf e}}{\partial t}+\frac{\partial\,{\bf p}}{\partial t}\right)$$

On peut alors définir une densité volumique de courant liée : ${\bf j_{liée}} = {\bf j_a}+{\bf j_p}$, faisant intervenir les densités de courant d’aimantation et de polarisation, ${\bf j_a} = {\bf rot\,m}$ et ${\bf j_p} = \frac{\partial\,{\bf p}}{\partial t}$, pour obtenir :

$${\bf rot\,b} = \mu_0\,\underbrace{({\bf j} + {\bf j_a} + {\bf j_p})}_{\bf j_{total}} + \mu_0\,\varepsilon_0\frac{\partial\,{\bf e}}{\partial t}$$

⇝ En pratique, ces formes sont difficilement utilisables.