Lois globales

On considère un milieu matériel quelconque de volume $V$ de bord $\partial V = S$ représenté par la figure ci-dessous.

Représentation schématique du domaine considéré.

Conservation du flux

En appliquant le théorème de la divergence (théorème de Green-Ostrogradski) à l’induction magnétique ${\bf b}$ sur le volume $V$, on obtient :

$$\iiint_{V} \text{div}\,{\bf b}~\text{d} V = \oiint_{S} {\bf b}\cdot{\bf d S}$$

D’après l’équation de Maxwell-Thomson, on a donc :

$$\boxed{\oiint_S {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0}$$

Ou encore :

$$\underbrace{\iint_{S_1} {\bf b}\cdot{\bf d S_1}}_{\displaystyle\Phi_1} = - \underbrace{\iint_{S_2} {\bf b}\cdot{\bf d S_2}}_{\displaystyle\Phi_2}$$

Où $\Phi_1$ et $\Phi_2$ sont respectivement les flux de ${\bf b}$ à travers $S_1$ et $S_2$.

$\implies {\bf b}$ est à flux conservatif.

Théorème de Gauss

En appliquant le même théorème à l’induction électrique ${\bf d}$ sur le même volume $V$, et en y injectant l’équation de Maxwell-Gauss :

$$\oiint_S {\bf d}\cdot{\bf dS} = \iiint_V \text{div}\, {\bf d}~\text{d} V = \iiint_V \rho_q ~ \text{d} V $$

Soit :

$$\boxed{\oiint_S {\bf d}\cdot{\bf dS} = Q_V}$$

Où $Q_V$ est la charge électrique totale contenue dans le volume $V$.

Théorème d’Ampère

Appliquons maintenant le théorème de Stokes au champ magnétique ${\bf h}$ sur le contour $C$ et reportons y l’équation de Maxwell-Ampère :

$$\oint_C {\bf h}\cdot{\bf d l} = \iint_{S_1} {\bf rot}\,{\bf h} \cdot {\bf d S_1} = \iint_{S_1} {\bf j} \cdot {\bf d S_1}$$

Soit :

$$\boxed{\oint_C {\bf h}\cdot{\bf d l} = I_{S_1}}$$

Où $I_{S_1}$ représente le courant total traversant la surface $S_1$ (courant enlacé par le contour $C$).

Loi de Lenz-Faraday

Appliquons le même théorème au champ électrique ${\bf e}$, toujours sur le contour $C$ :

$$\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l} = \iint_{S_1} {\bf rot}\,{\bf e} \cdot {\bf d S_1}$$

En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient :

$$\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l} = - \iint_{S_1} \frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}\cdot{\bf d S_1}$$

En considérant que $C$ reste immobile dans le référentiel d’étude, on en déduit :

$$\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l} = - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \iint_{S_1} {\bf b}\cdot{\bf d S_1} $$

Soit :

$$\boxed{\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l} = - \frac{\text{d}\,\Phi_1}{\text{d} t} }$$

Où : $\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l}$ est la force électromotrice (f.é.m $\mathcal{E}$).

Information

Une bonne généralisation aux cas de circuits en mouvement se trouve dans [Four85].

Loi des nœuds

On a vu que la densité de courant ${\bf j}$ était elle-aussi à divergence nulle (par l’équation de Maxwell-Ampère). Par analogie avec l’induction magnétique, on obtient ainsi :

$$\boxed{\oiint_S {\bf j}\cdot{\bf d S} = 0}$$

Soit :

$$\underbrace{\iint_{S_1} {\bf j}\cdot{\bf d S_1}}_{\displaystyle I_1} + \underbrace{\iint_{S_2} {\bf j}\cdot{\bf d S_2}}_{\displaystyle I_2} = 0$$

$\Longrightarrow$ C’est la loi des nœuds !

Loi de Biot et Savart

Dans le cas particulier de milieux non-magnétiques (donc où ${\bf b} = \mu_0\,{\bf h}$), nous disposons d’une formule permettant de calculer une valeur locale de l’induction (au point ${\bf x_0}$) à partir de la distribution de courant source (supposée contenue dans le volume $V_s$) :

$$\boxed{{\bf b}({\bf x_0}) = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \iiint_{V_s} \frac{{\bf j}({\bf x})\wedge({\bf x_0}-{\bf x})}{ \lVert {\bf x_0}-{\bf x} \rVert^3}~\text{d} V_{(\bf x)}}$$
Remarque

En réalité, la formule ci-dessus est une généralisation de la Loi de Biot et Savart initialement énoncée pour un circuit filiforme.

On dispose de formules analogues, pour :

  • le potentiel vecteur magnétique : $${\bf a}({\bf x_0}) = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \iiint_{V_s} \frac{{\bf j}({\bf x})}{\lVert {\bf x_0}-{\bf x} \rVert}~\text{d} V_{(\bf x)}$$
  • le champ électrique : $${\bf e}({\bf x_0}) = \frac{1}{4\,\pi\,\varepsilon_0} \iiint_{V_s} \frac{\rho_q({\bf x})\cdot({\bf x_0}-{\bf x})}{ \lVert {\bf x_0}-{\bf x} \rVert^3}~\text{d} V_{(\bf x)} $$
  • le potentiel scalaire électrique : $$v({\bf x_0}) = \frac{1}{4\,\pi\,\varepsilon_0} \iiint_{V_s} \frac{\rho_q({\bf x})}{ \lVert {\bf x_0}-{\bf x} \rVert}~\text{d} V_{(\bf x)} $$
Astuce

En pratique, le principal intérêt de ce type de formule est de, parfois, permettre de calculer le champ source ou le potentiel vecteur électrique dans une formulation en potentiel scalaire magnétique.