Cas des équations différentielles linéaires d'ordre 1 de forme résolue
Connaissant une condition initiale, la méthode d'Euler est une méthode qui construit la solution d'une équation différentielle \(y'=f(x,y)\) pas à pas en approximant la fonction solution \(y\) par sa tangente. On obtient alors une solution approchée \(\tilde{y}\) de la vraie solution \(y\) du problème.
\(~\)
Souvent, et ce sera la cas dans ce module, la largeur du pas est notée \(h\) et l'indice du pas sera noté \(k\). La formule de résolution correspondante est ainsi :
\(y_{k+1} = y_k + h \cdot f(x_k,y_k)\)
Remarque :
La fonction \(f\) est bien évident connue explicitement de par la définition du problème. Par exemple :
\(y' = f(x,y) = x y^2 - 5 x\)
La simplicité de la méthode entraîne une erreur de troncature importante. Les erreurs commises à chaque pas de calcul se propagent et finalement l'erreur obtenue au pas \(k\) est de la forme (on l'admettra) :
\(\epsilon_k = ||y(x_k)- y_k || = O(h)\)
La valeur de \(h\) influence donc énormément la précision de la méthode, mais aussi sa stabilité. En effet si la largeur du pas de calcul \(h\) est trop importante, la méthode peut ne pas converger.