Approximation des Régimes Quasi-Statiques (ARQS)
Ordres de grandeur
Rappelons que le but du présent module est de vous permettre de modéliser et simuler par éléments finis des dispositifs typiques de l’électrotechnique / électromécanique correspondant donc à de l’électromagnétisme basse-fréquence. La plage de fréquence concernée va donc du continu $(0~\text{Hz})$ à des valeurs de l’ordre de quelques centaines de $\text{kHz}$.
Considérons que le dispositif étudié est alimenté par une source sinusoïdale (de tension ou de courant) de pulsation $\omega$ et que les lois de comportement électrique et diélectrique des milieux matériels présents sont linéaires. En notant $\tau_c$ le rapport des normes des termes $\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}$ et ${\bf j}$, on obtient après simplifications :
$$ \tau_c = \frac{\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\omega}{\sigma}$$La table ci-dessous donne quelques valeurs caractéristiques :
| Matériau | $\sigma~(\text{S}\cdot\text{m}^{-1})$ | $\varepsilon_r$ | $\tau_c$ @ $1\,\text{MHz}$ |
|---|---|---|---|
| Cuivre | $58~10^{6}$ | $1$ | $9,93~10^{-13}$ |
| Aluminium | $37,7~10^{6}$ | $1$ | $1,48~10^{-12}$ |
| Fer pur | $10,4~10^{6}$ | $1$ | $5,35~10^{-12}$ |
| Eau salée | $5$ | $80$ | $8,90~10^{-4}$ |
On constate que, dans tous ces cas, le terme $\displaystyle\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}$ est clairement négligeable devant la densité de courant ${\bf j}$.
Dans la suite, nous le négligerons donc toujours, et nous nous placerons donc systématiquement dans ce qu’on appelle l’Approximation des Régimes Quasi-Statiques (ARQS).
Équations de Maxwell dans l’ARQS
Ainsi, la forme des équations de Maxwell que nous résoudrons dans ce cours est celle dans le cadre de l’ARQS, donnée ci-dessous :
Important !
Équations de Maxwell dans l’ARQS :
$$\left\{\begin{aligned} \text{div}\,{\bf b} &= 0 & \text{(MT)} \\ \text{div}\,{\bf d} &= \rho_q & \text{(MG)} \\ {\bf rot\,h} &= {\bf j} & \text{(MA)} \\ {\bf rot\,e} &= -\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}~~~ & \text{(MF)} \end{aligned}\right.$$Remarque
On remarque que désormais l’équation de Maxwell-Gauss est totalement découplée des autres.
Astuce
La divergence appliquée à (MA), nous donne la loi des nœuds locale :
$$\boxed{\text{div}\,{\bf j} = 0}$$Branches de l’Électromagnétisme dans l’ARQS
Plusieurs cas particuliers peuvent se présenter en fonction de la nature ou du type de source. Chacun définit un sous-domaine de l’électromagnétisme (en basse fréquence).
Électrostatique
L’Électrostatique porte sur la distribution de champ électrique due à des charges statiques ou des différences de potentiel électrique.
Les équations qui y interviennent sont donc :
$$\left\{\begin{aligned} &\text{div}\,{\bf d} = \rho_q \\ &{\bf rot}\,{\bf e} = {\bf 0} \\ &{\bf d} = \varepsilon_0 \varepsilon_r\,{\bf e} \end{aligned}\right.$$Nous résoudrons ici certains problèmes correspondants.
Électrocinétique
L’Électrocinétique concerne la distribution de la densité de courant à l’intérieur des conducteurs (lorsque les effets magnétiques sont négligeables : en statique, ou à fréquence suffisamment faible).
Les équations qui y interviennent sont donc :
$$\left\{\begin{aligned} &{\bf rot}\,{\bf e} = {\bf 0} \\ &\text{div}\,{\bf j} = 0 \\ &{\bf j} = \sigma\,{\bf e} \end{aligned}\right.$$Nous résoudrons ici certains problèmes correspondants.
Magnétostatique
La Magnétostatique, quand à elle, traite de la distribution de champ magnétique créé par une densité de courant constante et/ou des aimants permanents.
Les équations qui y interviennent sont donc :
$$\left\{\begin{aligned} &{\bf rot}\,{\bf h} = {\bf j} \\ &\text{div}\,{\bf b} = 0 \\ &{\bf b} = \mu\,{\bf h} ~(+ {\bf b_r}) \end{aligned}\right.$$La densité de courant ${\bf j}$ sera soit imposée comme densité de courant source circulant dans des inducteurs (${\bf j_s}$), soit issue d’une résolution électrocinétique (cf ci-dessus).
Nous résoudrons ici certains problèmes correspondants.
Magnétodynamique
Enfin, la Magnétodynamique s’occupe des distributions de champ magnétique et de courant induit dans les conducteurs issues de sources de courant variant dans le temps et/ou de sources statiques (courant continu ou aimants permanents) en mouvement.
Les équations qui y interviennent sont donc :
$$\left\{\begin{aligned} &{\bf rot}\,{\bf h} = {\bf j} \\ &\text{div}\,{\bf b} = 0 \\ &{\bf rot\,e} = -\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t} \\[0.5em] &{\bf b} = \mu\,{\bf h} ~(+ {\bf b_r}) \\ &{\bf j} = \sigma\,{\bf e} \end{aligned}\right.$$Nous verrons ici comment résoudre certains problèmes correspondants.
Astuce
Pour traiter les problèmes avec des conducteurs en mouvement, il est parfois plus utile d’utiliser la loi d’Ohm locale généralisée :
$${\bf j} = \sigma\,({\bf e} + {\bf v}\wedge{\bf b})$$Celle-ci ne contredit pas la loi de comportement électrique car elle est exprimée dans le référentiel de l’observateur, il y a donc toujours $~{{\bf j} = \sigma\,{\bf e}}~$ dans le référentiel lié au conducteur (${{\bf v}={\bf 0}}$). L’intérêt est de pouvoir transformer, dans certains cas, le problème initial en un problème de magnétostatique plus simple à résoudre. Si cela vous intéresse, vous pouvez consulter l’exemple détaillé dans cet article.
Pour illustrer cette remarque, et faire une petite pause, je vous propose une vidéo expliquant le principe de fonctionnement d’un ralentisseur Telma, dispositif dont le fonctionnement est un parfait exemple de problème magnétodynamique qu’on peut résoudre avec une formulation statique avec la loi d’Ohm locale généralisée :
Information
Il existe un cas particulier que nous n’aborderons pas dans le cadre de ce cours, mais dans lequel on ne peut pas négliger le terme $\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}$ bien que correspondant à des applications en basse fréquence et donc entrant dans le cas quasi-statique.
En effet certains matériaux peuvent être à la fois conducteurs (avec des conductivités assez faibles mais non nulles) et posséder une perméabilité relative assez élevée. Les semi-conducteurs rentrent dans ce cadre par exemple, mais aussi beaucoup de tissus biologiques comme ceux des organes humains. On peut aussi s’intéresser à des problèmes comportant, à la fois, des milieux conducteurs et des isolants dans lesquels on cherche à calculer les distributions de champ électrique et de densité de courant en s’affranchissant complètement des aspects magnétique. On appelle parfois ce domaine d’étude Électrodynamique ou Modèle électrique quasi-statique.
Les équations qui y interviennent sont donc :
$$\left\{\begin{aligned} &{\bf rot}\,{\bf e} = {\bf 0} \\ &\text{div}\,\left({\bf j}+\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}\right) = 0 \\ & {\bf j} = \sigma\,{\bf e} \\&{\bf d} = \varepsilon\,{\bf e} \end{aligned}\right.$$Mais, comme dit ci-dessus, les applications concernées n’entrent pas dans le cadre de ce module.