Positionnement du problème
Dans ce qui suit, \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie \(n\), \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(t_0\) un élément de \(I\).
On considère également :
\(A\) une fonction définie et continue sur \(I\) à valeur dans l'espace \(L(E)\) des applications linéaires de \(E\) dans lui-même.
\(B\) une fonction définie et continue sur \(I\) à valeur dans \(E\).
Si \(E\) est muni d'une base naturelle \(\{e_1,e_2,\dots,e_n\}\), alors pour tout \(t \in I\), on peut associer à \(A(t)\) et \(B(t)\) la matrice carrée \({\bf A}(t)\) \((n\times n)\) et le vecteur \({\bf B}(t)\) dans cette base.
On cherche à résoudre le problème suivant :
Trouver \(\vec{x} \in C^1(I,E)\) tel que \(\left\{ \begin{array}{l} \vec{x'}(t) = {\bf A}(t)\cdot \vec{x}(t) + {\bf B}(t)\\ \vec{x}(t_0) = \vec{x_0} \end{array} \right.~~(S)\)
On remarquera que \(\vec{x}\) est un vecteur de dimension \(n\), dans la suite on le notera simplement \(X\).
Exemple : Système différentiel linéaire sous forme matriciel
\(\left\{ \begin{array}{l} \underbrace{\begin{pmatrix} x_1'(t)\\ x_2'(t)\\ x_3'(t) \end{pmatrix}}_{X'(t)} = \underbrace{\begin{pmatrix} \sin(t) & \cos(t) & e^t \\ \arctan(t) & 1+t & \sqrt[3]{t}\\ \ln(t) & t^2 & \cosh(t) \end{pmatrix}}_{ {\bf A}(t)} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t) \end{pmatrix}}_{X(t)} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0\\ \sinh(t)\\ \frac{1}{t} \end{pmatrix}}_{ {\bf B}(t)}\\ \\ \begin{pmatrix} x_1(t_0) & x_2(t_0) & x_3(t_0) \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{5} & 0 \end{pmatrix}^T \end{array} \right.\)
Fondamental : Théorème
Il existe une solution unique à \((S)\) sur \(I\).
Complément : Preuve
C'est le théorème de Cauchy-Lipschitz (cf. premier module du cours).