Théorème de Cauchy-Lipschitz
Définition : Forme résolue
Quand l'équation peut s'écrire \(y^{(n)} = g(x,y,\dots,y^{(n-1)})\), on dit qu'elle est résolue en \(y^{(n)}\).
Définition : Solution maximale
Une solution maximale d'une équation différentielle est une solution que l'on ne peut pas prolonger en une autre solution.
Fondamental : Théorème de Cauchy-Lipschitz
Soit \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie et \(g : A \longrightarrow E\), (\(A~\text{ouvert de}~\mathbb{R}\times E^n\)) de classe \(C^1\).
Si \((x_0,y_0) \in A\), il existe une et une seule solution maximale au problème de Cauchy :
\(\left\{ \begin{array}{l} y' = g(x,y)\\ y(x_0) = y_0 \end{array} \right.\)
Les autres solutions de ce problème sont les restrictions de la solution maximale.
Généralisation :
Soit \((E)~:~y^{(n)} = g(x,y,\dots,y^{(n-1)})\).
Si \(g\) est de classe \(C^1\) et si \((x_0,y_0,y_1,\dots,y_{(n-1)}) \in A\), il existe une et une seule solution maximale au problème de Cauchy :
\(\left\{ \begin{array}{l} y^{(n)} = g(x,y,\dots,y^{(n-1)}) \\ y(x_0) = y_0,~y'(x_0) = y_1,~\dots~,~y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} \end{array} \right.\)
Les autres solutions de ce problème sont les restrictions de la solution maximale.
Complément :
Pour être tout à fait précis, le fait que la fonction \(g\) soit \(C^1\) est une condition suffisante (mais pas nécessaire). En fait, il suffit que cette fonction soit localement lipschitzienne autour de \((x_0,y_0)\) pour appliquer le théorème. En pratique il est beaucoup plus facile de montrer qu'elle est continûment dérivable.
Méthode : Proposition / preuve de la généralisation du théorème
Soit \((E)~:~y^{(n)} = g(x,y,\dots,y^{(n-1)})\) une équation différentielle d'ordre \(n \geq 2\), résolue en \(y^{(n)}\). On pose :
\(\mathbf{z} = (y,y',\dots,y^{(n-1)}) = (z_1,z_2,\dots,z_n)\)
L'équation devient :\((E')~:~\left\{ \begin{array}{c} z_1' = z_2 \\ z_2' = z_3 \\ \vdots \\ z_{n-1}' = z_n \\ z_n' = g(x,z_1,z_2,\dots,z_n) \end{array} \right.\)
Que l'on peut mettre sous la forme :\((E')~:~\mathbf{z}' = h(x,\mathbf{z})\)
Avec :
\(h : A \longrightarrow E^n,~A~\text{ouvert de}~\mathbb{R}\times E^n\)
On a :
\(\varphi\) solution de \((E) \Rightarrow (\varphi,\varphi',\varphi'',\dots,\varphi^{(n)})\) solution de \((E')\). \((\psi_1,\psi_2,\dots,\psi_n)\) solution de \((E') \Rightarrow \psi_1\) solution de \((E)\). |