Conditions d'interfaces
Composantes normales
Considérons deux milieux $\#1$ et $\#2$ séparés par une surface $S$, la normale à la surface étant dirigée de $\#1$ vers $\#2$. Pour un infiniment petit quelconque $u$, on définit un petit cylindre de volume $v_c$, de rayon $r = o(u)$ et de hauteur $l = o(u^2)$ centré sur $S$.
Une représentation schématique est donnée par la figure ci-dessous.
Représentation schématique de la configuration considérée (pour les composantes normales).
En notant $s_1$ et $s_2$ les bases du cylindre contenues respectivement dans $\#1$ et $\#2$, et $s_l$ sa surface latérale, on a : $$\left\{\begin{aligned}s_1 = s_2 = s = o(u^2)\\ s_l = o(u^3)\end{aligned}\right.$$
Continuité de la composante normale de ${\bf b}$
Appliquons la conservation du flux à notre cylindre : $$\oiint_{\partial v_c} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$
Soit, en développant et en multipliant par $\frac{1}{s}$ :
$$\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$
Or :
$$\frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} \leq \max_{s_l}(|\!|{\bf b}|\!|)\,\frac{s_l}{s} = o(u)$$
Et : $$\left\{\begin{aligned}\lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~\text{d} S\right) &= - {\bf b_1}\cdot{\bf n_{12}}\\ \lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S\right) &= {\bf b_2}\cdot{\bf n_{12}}\end{aligned}\right.$$
Où ${\bf b_1}$ et ${\bf b_2}$ sont les valeurs de l’induction au centre du cylindre approché respectivement depuis les milieux $\#1$ ou $\#2$.
Ainsi par passage à la limite dans l’expression générale, on obtient : $$\boxed{{\bf n_{12}}\cdot({\bf b_2}-{\bf b_1}) = 0}$$
On a donc continuité de la composante normale de l’induction magnétique ${\bf b}$ à travers la surface.
Saut de la composante normale de ${\bf d}$
Appliquons le raisonnement précédent en partant du théorème de Gauss :
$$\oiint_{\partial v_c} {\bf d}\cdot{\bf dS} = \iiint_{v_c} \rho_q\,\text{d} V$$
Le terme de gauche peut-être traité exactement de la même façon que pour ${\bf b}$. Pour le terme de droite, on peut écrire :
$$\frac{1}{s} \iiint_{v_c} \rho_q\,\text{d} V = \frac{1}{s} \iint_{s} \left(\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \rho_q\,\text{d}{l}\right) \text{d} S$$
En définissant localement la densité surfacique de charge $\sigma_q$ (densité de charge portée par la surface $s$, en $\text{C}\cdot\text{m}^{-2}$) par :
$$\sigma_q = \lim_{l \to 0} \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \rho_q\,\text{d}{l}~,$$
par passage à la limite ($u \to 0$), on obtient :
$$\boxed{{\bf n_{12}}\cdot({\bf d_2}-{\bf d_1}) = \sigma_q}$$
On a donc un saut de la composante normale de ${\bf d}$ à travers $S$.
On trouve des densités surfaciques de charge dans tout conducteur à l’équilibre électrostatique.
En l’absence de densité surfacique de charge : on a évidemment continuité de la composante normale de l’induction électrique ${\bf d}$.
Continuité de la composante normale de ${\bf j}$
Dans l’ARQS, puisque $\text{div}\,{\bf j} = 0$, on peut appliquer le même raisonnement que pour ${\bf b}$, et ainsi :
$$\boxed{{\bf n_{12}}\cdot({\bf j_2}-{\bf j_1}) = 0}$$
En particulier, sur le bord d’un conducteur isolé, ${\bf j_2}$ étant nulle à l’extérieur, on en déduit que la densité de courant est tangente à la surface.
Composantes tangentielles
En prenant une coupe de la configuration précédente, on obtient celle décrite par la figure ci-après.
Représentation schématique de la configuration considérée (pour les composantes tangentielles).
Dans ce plan de coupe, on choisit arbitrairement un chemin rectangulaire $\mathscr{C}$, de sommets $A$, $B$, $C$ et $D$. Les segments $AB$ et $CD$ sont de longueurs $l_1 = l_2 = l = o(u)$ et portés par un vecteur unitaire quelconque orthogonal à la normale à la surface : ${\bf u_l}\perp{\bf n_{12}}$. Les segments $BC$ et $DA$ sont de longueur $\alpha = o(u^2)$ et portés par ${\bf n_{12}}$.
Continuité de la composante tangentielle de ${\bf e}$
La loi de Lenz-Faraday appliquée au contour $\mathscr{C}$ et multipliée par un facteur $\frac{1}{l}$, nous donne :
$$\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf e}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \iint_{s_l} -\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}\cdot{\bf d S}$$
En développant le membre de gauche, on obtient :
$$\begin{aligned}\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf e}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \int_{l_1}{\bf e}\cdot{\bf u_l}\,\text{d} l ~+ &\frac{1}{l} \int_{l_2}{\bf e}\cdot(-{\bf u_l})\,\text{d} l \\ &+ \underbrace{\frac{1}{l}\left(\int_{B}^{C}{\bf e}\cdot{\bf n_{12}}\,\text{d} l + \int_{D}^{A}{\bf e}\cdot(-{\bf n_{12}})\,\text{d} l\right)}_{\lambda}\end{aligned}$$ Or :
$$\lambda \leq \left(\max_{BC}(|\!|{\bf e}|\!|) + \max_{DA}(|\!|{\bf e}|\!|)\right)\frac{\alpha}{l} = o(u) $$
De plus :
$$\begin{aligned}\left|\frac{1}{l} \iint_{s_l} -\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}\cdot{\bf d S} \right| = \frac{1}{l} &\iint_{s_l} \frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}\cdot({\bf u_l}\wedge{\bf n_{l2}})\,\text{d} S \\ &\leq \max_{s_l}\left(\left|\!\left|\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}\right|\!\right|\right)\,\alpha = o(u^2)\end{aligned}$$
Finalement, on a :
$$\frac{1}{l} \int_{l_1}{\bf e}\cdot{\bf u_l}\,\text{d} l + \frac{1}{l} \int_{l_2}{\bf e}\cdot(-{\bf u_l})\,\text{d} l + o(u) = o(u^2)$$
Par passage à la limite ($u \to 0$), on obtient :
$$({\bf e_1} - {\bf e_2})\cdot{\bf u_l} = 0$$
Où ${\bf e_1}$ et ${\bf e_2}$ sont les valeurs du champ électrique au centre du rectangle approché respectivement depuis les milieux $\#1$ ou $\#2$.
La relation précédente étant valable quelque soit le vecteur ${\bf u_l}\perp{\bf n_{12}}$ choisi, on peut en déduire :
$$\boxed{{\bf n_{12}}\wedge({\bf e_2}-{\bf e_1}) = {\bf 0}}$$
On a donc continuité de la composante tangentielle du champ électrique.
Saut de la composante tangentielle de ${\bf h}$
En appliquant le théorème d’Ampère sur $\mathscr{C}$ et en multipliant chaque terme par un facteur $\frac{1}{l}$ on obtient :
$$\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf h}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \iint_{s_l} {\bf j}\cdot{\bf d S}$$
Le terme de gauche peut être traité exactement de la même manière que dans le paragraphe précédent.
Intéressons-nous au terme de droite :
$$\begin{aligned}\frac{1}{l} \iint_{s_l} {\bf j}\cdot{\bf d S} &= \frac{1}{l} \iint_{s_l} {\bf j}\cdot({\bf u_l}\wedge{\bf n_{12}})\,\text{d} S \\ &= \frac{1}{l} \int_l \left(\int_{\frac{-\alpha}{2}}^{\frac{\alpha}{2}} {\bf j}\,\text{d} \alpha\right)\cdot({\bf u_l}\wedge{\bf n_{12}})\,\text{d} l\end{aligned}$$
En définissant localement la densité surfacique de courant ${\bf j_s}$ (densité de courant portée par la surface $S$, en $\text{A}\cdot\text{m}^{-1}$) par :
$${\bf j_s} = \lim_{\alpha\to 0}\int_{\frac{-\alpha}{2}}^{\frac{\alpha}{2}} {\bf j}\,\text{d} \alpha ~~~,$$
on obtient, par passage à la limite ($u\to 0$) :
$$({\bf h_1}-{\bf h_2})\cdot{\bf u_l} = {\bf j_s}\cdot({\bf u_l}\wedge{\bf n_{12}}) = {\bf u_l}\cdot({\bf n_{12}}\wedge{\bf j_s})$$
Où ${\bf h_1}$ et ${\bf h_2}$ sont les valeurs du champ magnétique au centre du rectangle approché respectivement depuis les milieux $\#1$ ou $\#2$, et ${\bf j_s}$ y est également la valeur de la densité surfacique de courant.
Ainsi, pour tout ${\bf u_l}\perp{\bf n_{12}}$ :
$$({\bf h_1}-{\bf h_2})\cdot{\bf u_l} = ({\bf n_{12}}\wedge{\bf j_s})\cdot{\bf u_l}$$
La densité superficielle de courant ${\bf j_s}$ étant portée par la surface $S$, et donc étant orthogonale à ${\bf n_{12}}$, on peut en déduire :
$$\boxed{{\bf n_{12}}\wedge({\bf h_2}-{\bf h_1}) = {\bf j_s}}$$
On a donc un saut de la composante tangentielle de ${\bf h}$ à travers $S$.
En réalité, une densité surfacique de courant n’existe pas physiquement : on a toujours une densité de courant volumique. Cependant, dans certains cas, l’épaisseur de la zone où circule cette densité volumique est suffisamment faible pour l’assimiler à une densité surfacique. On peut citer deux cas fréquents : dans une plaque ou un tube très mince ; sur les bords d’un conducteur siège de courants induits à « haute fréquence ».
Sans densité superficielle de courant (donc souvent), il y a continuité de la composante tangentielle de ${\bf h}$.