Magnétostatique
La magnétostatique (en anglais magnetostatics) correspond au calcul de la distribution du champ ou de l’induction magnétiques produit par des courants continus ou des aimants.
Considérons le domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$ constitué de plusieurs sous-domaines schématisé par la figure :
- $\Omega_m$ correspondant à des matériaux magnétiques ;
- $\Omega_c$ correspondant à des conducteurs électriques parcourus par une densité de courant imposée par une source extérieure ${\bf j_s}$ ;
- $\Omega_a$ correspondant à des aimants permanents d’induction rémanente ${\bf b_r}$ ;
- une zone d’air entourant ses différents sous-domaines.
Et sa frontière $\Gamma (=\partial\Omega)$ est divisée en deux morceaux $\Gamma_d$ et $\Gamma_n$.
Les relations régissant la magnétostatique sont :
- Les équations de Maxwell en statique suivantes : $$\left\{\begin{aligned}\text{div}\,{\bf b} &= 0\\{\bf rot}\,{\bf h} &= {\bf j_s}~\text{dans } \Omega_c, \text{ et } {\bf 0} \text{ ailleurs}\end{aligned}\right.$$
- Les lois de comportements magnétiques : $$\left\{\begin{aligned}{\bf b} &= \mu_0\,{\bf h}&\text{dans l’air et }\Omega_c\\{\bf b} &= \mu\,{\bf h} &\text{dans~}\Omega_m\\{\bf b} &= \mu_0\mu_{ra}\, {\bf h}+{\bf b_r} &\text{dans~}\Omega_a\end{aligned}\right.$$
- Les contions aux limites, par exemple :
- continuité de la composante normale de l’induction : ${\bf n}\cdot{\bf b} = 0$ sur $\Gamma_d$ ;
- continuité de la composante tangentielle du champ : ${\bf n}\wedge{\bf h} = {\bf 0}$ sur $\Gamma_n$.
Formulation en potentiel vecteur magnétique
Formulation forte
${\bf b}$ étant à divergence nulle, nous avons vu dans le premier chapitre, qu’il était possible de définir un potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ tel que : $${\bf b} = {\bf rot}\,{\bf a}$$
En lui associant les lois de comportement et en reportant dans l’équation de Maxwell-Ampère, on obtient : $$\left\{\begin{aligned} {\bf rot}\left(\frac{1}{\mu_0}{\bf rot}\,{\bf a}\right) - {\bf j_s} &= 0 ~,\text{ dans }\Omega_c\\ {\bf rot}\left(\frac{1}{\mu_{ra}\mu_0}\left({\bf rot}\,{\bf a}-{\bf b_r}\right)\right) &= 0~,\text{ dans }\Omega_a\\ {\bf rot}\left(\frac{1}{\mu}{\bf rot}\,{\bf a}\right) &= 0 ~,\text{ ailleurs }\end{aligned}\right.$$
Et nos conditions aux limites peuvent se traduire par : $$\left\{\begin{aligned} \left.{\bf a}\wedge{\bf n}\right|_{\Gamma_d} &= {\bf 0}\\ \left.{\bf rot}\,{\bf a}\wedge{\bf n}\right|_{\Gamma_n} &= {\bf 0} \end{aligned}\right.$$
Formulation faible
En appliquant le principe détaillé dans le deuxième chapitre sur la formulation en rot-rot, on peut déduire la formulation faible de notre problème :
Trouver ${\bf a} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) = \{ {\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}|_{\Gamma_{d}} = 0\}$, tel que :
$$\forall {\bf a’} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega),~~ \left(\mu^{-1}\,{\bf rot}\,{\bf a}\,,\,{\bf rot}\,{\bf a’}\right)_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\,{\bf b_r}\,,\,{\bf rot}\,{\bf a’}\right)_{\Omega_a} + \left( -{\bf j_s} \,,\, {\bf a’}\right)_{\Omega_c}= 0$$
Rappelons ici que la formulation ci-dessus ne conduit pas à une solution unique comme vu dans les chapitres précédents, il nous faudra rajouter une condition de jauge sur ${\bf a}$ pour pouvoir le calculer en 3D (jauge de Coulomb ou jauge d’arbre).
Formulation en potentiel scalaire magnétique
Formulation forte
Dans le cas particulier d’un problème sans densité de courant source $({\bf j_s} = {\bf 0})$, on a : ${\bf rot}\,{\bf h} = {\bf 0}$ dans tout le domaine.
On peut alors définir un potentiel scalaire magnétique $\phi$ tel que : $${\bf h} = -{\bf grad}\,\phi$$
En lui associant les lois de comportement et en reportant dans l’équation de Maxwell-Thomson, on obtient :
$$\left\{\begin{aligned}\text{div}\left(-\mu\,{\bf grad}\,\phi\right) &= 0~, &\text{dans}~ \Omega\setminus\Omega_a\\ \text{div}\left(-\mu\,{\bf grad}\,\phi + {\bf b_r}\right) &= 0~, &\text{dans}~ \Omega_a \end{aligned}\right.$$
Et nos conditions aux limites peuvent se traduire par : $$\left\{\begin{aligned} \left.\phi\right|_{\Gamma_n} &= {\bf 0}\\ \left.{\bf grad}\,\phi\cdot{\bf n}\right|_{\Gamma_d} &= {\bf 0} \end{aligned}\right.$$
Formulation faible
En procédant de la même façon qu’en électrostatique ou électrocinétique, on déduit la formulation faible associée :
Trouver $\phi \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ \phi \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \phi|_{\Gamma_{n}} = 0\}$, tel que :
$$\forall \phi’ \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega),~~ \left(-\mu\,{\bf grad}\,\phi\,,\,{\bf grad}\,\phi’\right)_{\Omega} + \left({\bf b_r}\,,\,{\bf grad}\,\phi’\right)_{\Omega_a}= 0$$