Bref historique

Bien que plus jeune que la mécanique, l’électromagnétisme est, avec cette dernière, une grande branche de la physique classique. Sur Wikipédia, on peut trouver un bon résumé historique. Plutôt que de le reformuler, je préfère le pomper odieusement :

Pendant longtemps les phénomènes électriques et les phénomènes magnétiques ont été considérés comme indépendants [1]. En 1600, William Gilbert explicite, dans son ouvrage De Magnete, la distinction entre corps électriques (il introduit ce terme) et magnétiques. Il assimile la Terre à un aimant, note les répulsions et attractions des aimants par leurs pôles et l’influence de la chaleur sur le magnétisme du fer. Il donne aussi les premières notions sur l’électricité, dont une liste des corps électrisables par frottement.

Les Grecs avaient seulement remarqué que des morceaux d’ambre frottés pouvaient attirer des corps légers, tels des copeaux ou de la poussière, et par ailleurs qu’il existait un minéral, la « pierre d’aimant » ou magnétite [2], capable d’attirer le fer et les métaux ferreux.

La découverte au XIXe siècle par Ørsted, Ampère et Faraday de l’existence d’effets magnétiques de l’électricité a conduit progressivement à envisager que les forces « électrique » et « magnétique » puissent être en fait unifiées, et Maxwell propose en 1860 une théorie générale de l’électromagnétisme classique, qui pose les fondements de la théorie moderne.

• La perturbation des boussoles sous l’action de la décharge de la foudre était un phénomène bien connu au XVIIIe siècle. Cela créait un lien entre électricité et magnétisme, mais difficile à interpréter et impossible à reproduire. Par ailleurs les lois de l’électricité et du magnétisme énoncées par Charles Coulomb distinguaient bien l’électricité d’un côté et le magnétisme de l’autre, même si ces lois se présentaient sous la même forme mathématique.

• En 1820, le Danois Hans Christian Ørsted fait une observation extraordinaire : un fil rectiligne parcouru par un courant continu dévie l’aiguille d’une boussole placée à proximité.

• En 1820, André-Marie Ampère met en évidence les interactions entre courants électriques et assimile tout aimant, y compris le globe terrestre, à un ensemble de courants [3].

• En 1831, Michael Faraday étudie le comportement d’un courant dans un champ magnétique, et s’aperçoit que celui-ci peut produire du travail. Ørsted avait découvert qu’un courant électrique produit un champ magnétique, Faraday découvre qu’un champ magnétique engendre un courant électrique. Il découvre ainsi le principe du moteur électrique, et donc la conversion du travail mécanique en énergie électrique, inventant ainsi la génératrice de courant. Dans un article de 1852 (« On the Physical Character of the Lines of Magnetic Force »), Faraday dévoile l’existence du champ magnétique en décrivant les « lignes de force » le long desquelles s’oriente la limaille de fer au voisinage de l’aimant.

• En 1864, James Maxwell unifie les théories antérieures, comme l’électrostatique, l’électrocinétique ou la magnétostatique. Cette théorie unifiée explique, entre autres, le comportement des charges et courants électriques, des aimants, ou encore des ondes électromagnétiques telles la lumière ou les ondes radio qui apparaissent en fait comme la propagation de perturbations électromagnétiques. L’électromagnétisme est né.

⇝ Merci Wikipédia ! Mais pour le reste, on fera sans toi… 😉

Champ électromagnétique

Définitions

De façon générale, à l’échelle macroscopique, le champ électromagnétique est constitué de cinq champs vectoriels et d’un champ scalaire :

• ${\bf h}$ : le champ magnétique en $\text{A}\cdot\text{m}^{-1}$

• ${\bf e}$ : le champ électrique en $\text{V}\cdot\text{m}^{-1}$

• ${\bf b}$ : l’induction magnétique en $\text{T}$ (= $\text{Wb}\cdot\text{m}^{-2}$)

• ${\bf d}$ : l’induction électrique en $\text{C}\cdot\text{m}^{-2}$

• ${\bf j}$ : la densité volumique de courant électrique en $\text{A}\cdot\text{m}^{-2}$

• $\rho_q$ : la densité volumique de charge électrique en $\text{C}\cdot\text{m}^{-3}$

Les six grandeurs ci-dessus sont liées entres-elles par deux types de relations :

1. les lois de comportement des milieux en présence,
2. les célèbres équations de Maxwell.

Lois de comportement

Dans un milieu matériel donné, les différents champs constituant le champ électromagnétique sont liés entre eux par les caractéristiques physiques du matériau. Ces relations sont modélisées par ce qu’on appelle les lois de comportement.

En ce qui nous concerne, on en distinguera trois types :

• les lois de comportement magnétique
• les lois de comportement électrique
• les lois de comportement diélectrique

Lois de comportement magnétique

Matériaux non-magnétiques (amagnétiques)

Dans un milieu non magnétique tel que le vide (ou l’air), mais aussi dans les isolants ou conducteurs électriques classiques (cuivre, aluminium, etc…), l’induction ${\bf b}$ est directement proportionnelle au champ magnétique ${\bf h}$ par :

Où $\mu_0$ est la perméabilité magnétique du vide :

Matériaux ferromagnétiques

Ce sont des matériaux dans lesquels apparaît une aimantation ${\bf m}$ (en $\text{A}\cdot\text{m}^{-1}$) lorsqu’ils sont soumis à un champ magnétique ${\bf h}$.
La loi correspondante est :

L’évolution de la valeur de l’induction, dans la direction privilégiée, en fonction de celle du champ décrit alors un cycle d’hystérésis comme sur la figure ci-dessous :

• la valeur de l’induction rémanente $B_r$,
• la valeur du champ coercitif $H_c$.

L’aimantation ${\bf m}$ s’exprime elle-même en fonction de ${\bf h}$ par :

avec :

• $\chi_m$ : susceptibilité magnétique du matériau (sans unité, peut dépendre de ${\bf h}$),
• ${\bf m_0}$ : aimantation permanente du matériau (en $\text{A}\cdot\text{m}^{-1}$).

Matériaux ferromagnétiques doux

Les matériaux doux sont caractérisés par un cycle très étroit, comme par exemple :

Les valeurs de champ coercitif ou d’induction rémanente sont suffisamment faibles pour que le cycle puisse être assimilé à une courbe passant par l’origine, dont l’allure peut se représenter comme ci-dessous :

L’aimantation permanente du matériau est négligeable, et on en déduit :

$\mu$ est la perméabilité magnétique du matériau (en $\text{H}\cdot\text{m}^{-1}$), elle dépend généralement du champ : $\mu({\bf h})$.

Dans la suite, nous utiliserons deux types de modèles :

1. Le modèle linéaire : le plus simple, qui consiste à approximer la courbe par sa pente à l’origine. Ainsi la perméabilité est considérée comme constante égale à $\mu_0\,\mu_r$ où la valeur de la perméabilité relative $\mu_r$ est celle correspondant à de faibles valeurs de champ.
2. Le modèle non-linéaire : lorsque les champs atteignent des valeurs conséquentes, le modèle précédent n’est plus satisfaisant et on utilise directement la courbe $B(H)$ ci-dessus. En général, elle est traitée par interpolation de valeurs tabulées issues de la mesure.

C’est ce type de matériaux qui est utilisé pour les circuits magnétiques des applications qui nous intéresseront : inductances, transformateurs, actionneurs, machines tournantes…

Matériaux ferromagnétiques durs (aimants)

À l’inverse des précédents, les ferromagnétiques durs sont caractérisés par un cycle d’hystérésis très large, comme :

Dans la suite, on se situera toujours sur la partie linéaire correspondant à la partie haute du cycle. Par substitution, on a :

Qui s’écrit :

Avec :

• $\mu_{ra}$ : perméabilité relative de l’aimant (légèrement supérieure à 1)
• ${\bf b_r}$ : induction rémanente (vectorielle)

Lois de comportement électrique

Elles sont valables pour des matériaux conducteurs électriques. On peut distinguer deux cas.

Milieux conducteurs ohmiques

Cette catégorie correspondant à l’ensemble des conducteurs que nous verrons par la suite : principalement des métaux comme le cuivre, l’aluminium, le laiton, les aciers, etc…

La loi de comportement, y est simplement :

où $\rho$ est la résistivité électrique du matériau (en $\Omega\cdot\text{m}$).
On pourra éventuellement lui préférer la relation inverse (strictement équivalente) :

avec $\sigma = \frac{1}{\rho}$, la conductivité électrique du milieu (en $\text{S}\cdot\text{m}^{-1}$).

Souvent, les deux relations ci-dessus ne sont pas linéaires car la résistivité et (donc) la conductivité dépendent fortement de la température. Par exemple, pour la conductivité du cuivre :

Milieux supraconducteurs

Ce sont des matériaux qui, dans les bonnes conditions (de température et de champs) présentent une résistivité électrique nulle ou quasi-nulle. Il sont caractérisés par une loi de comportement du type :

où $E_c$ et $J_c$ sont respectivement le champ et la densité de courant critiques du matériau.

Lois de comportement diélectriques

Un milieu diélectrique est un milieu isolant (non-conducteur du courant) qui peut se polariser électriquement lorsqu’il est soumis à un champ électrique (il est constitué de dipôles électriques). C’est le cas par exemple du verre, de céramiques (dont les céramiques piézoélectriques), du polypropylène, du mica, du téflon, etc… D’un point de vue « Loi de comportement », on peut faire une analogie avec les milieux magnétiques précédents.

Matériaux non-diélectriques

Dans le cas du vide, ou de nombreux autres milieux non-diélectriques comme les conducteurs ou matériaux magnétiques. La relation entre l’induction et le champ électrique est simplement :

où $\epsilon_0$ est la permittivité électrique du vide (en $\text{F}\cdot\text{m}^{-1}$), dont la valeur se déduit de la relation :

Matériaux diélectriques

Comme pour l’aimantation des matériaux magnétiques, il apparaît une polarisation électrique ${\bf p}$ dans les diélectriques lorsqu’ils sont soumis à un champ électrique ${\bf e}$.
La loi donnant l’induction ${\bf d}$ est alors :

La polarisation peut s’écrire sous la forme :

avec :

• $\chi_e$ : susceptibilité électrique du matériau (sans unité),
• ${\bf p_0}$ : polarisation permanente du matériau (en $\text{V}\cdot\text{m}^{-1}$), correspond aux matériaux dit ferroélectriques.

Ainsi, dans une direction privilégiée, la valeur de l’induction en fonction de celle du champ électrique décrit elle-aussi un cycle comme le montre la figure ci-dessous :

Dans le cadre de ce cours, nous ne intéresserons qu’aux cas linéaires où ${\bf p_0} = {\bf 0}$.
On aura donc :

où $\varepsilon_r$ est la permittivité relative du matériau considéré.

Équations de Maxwell

Les quatre équations de Maxwell sont les relations fondamentales régissant les lois de l’Électromagnétisme.
Leur forme universelle à l’échelle macroscopique est donnée ci-dessous :

Maxwell-Thomson (MT)

Maxwell-Gauss (MG)

Maxwell-Ampère (MA)

Maxwell-Faraday (MF)

Approximation des Régimes Quasi-Statiques (ARQS)

Ordres de grandeur

Rappelons que le but du présent module est de vous permettre de modéliser et simuler par éléments finis des dispositifs typiques de l’électrotechnique / électromécanique correspondant donc à de l’électromagnétisme basse-fréquence. La plage de fréquence concernée va donc du continu $(0~\text{Hz})$ à des valeurs de l’ordre de quelques centaines de $\text{kHz}$.

Considérons que le dispositif étudié est alimenté par une source sinusoïdale (de tension ou de courant) de pulsation $\omega$ et que les lois de comportement électrique et diélectrique des milieux matériels présents sont linéaires. En notant $\tau_c$ le rapport des normes des termes $\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}$ et ${\bf j}$, on obtient après simplifications :

La table ci-dessous donne quelques valeurs caractéristiques :

On constate que, dans tous ces cas, le terme $\displaystyle\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}$ est clairement négligeable devant la densité de courant ${\bf j}$.

Dans la suite, nous le négligerons donc toujours, et nous nous placerons donc systématiquement dans ce qu’on appelle l’Approximation des Régimes Quasi-Statiques (ARQS).

Équations de Maxwell dans l’ARQS

Ainsi, la forme des équations de Maxwell que nous résoudrons dans ce cours est celle dans le cadre de l’ARQS, donnée ci-dessous :

Branches de l’Électromagnétisme dans l’ARQS

Plusieurs cas particuliers peuvent se présenter en fonction de la nature ou du type de source. Chacun définit un sous-domaine de l’électromagnétisme (en basse fréquence).

Électrostatique

L’Électrostatique porte sur la distribution de champ électrique due à des charges statiques ou des différences de potentiel électrique.

Les équations qui y interviennent sont donc :

Nous résoudrons ici certains problèmes correspondants.

Électrocinétique

L’Électrocinétique concerne la distribution de la densité de courant à l’intérieur des conducteurs (lorsque les effets magnétiques sont négligeables : en statique, ou à fréquence suffisamment faible).

Les équations qui y interviennent sont donc :

Nous résoudrons ici certains problèmes correspondants.

Magnétostatique

La Magnétostatique, quand à elle, traite de la distribution de champ magnétique créé par une densité de courant constante et/ou des aimants permanents.

Les équations qui y interviennent sont donc :

La densité de courant ${\bf j}$ sera soit imposée comme densité de courant source circulant dans des inducteurs (${\bf j_s}$), soit issue d’une résolution électrocinétique (cf ci-dessus).

Nous résoudrons ici certains problèmes correspondants.

Magnétodynamique

Enfin, la Magnétodynamique s’occupe des distributions de champ magnétique et de courant induit dans les conducteurs issues de sources de courant variant dans le temps et/ou de sources statiques (courant continu ou aimants permanents) en mouvement.

Les équations qui y interviennent sont donc :

Nous verrons ici comment résoudre certains problèmes correspondants.

Potentiels électriques et magnétiques

On se place dans un domaine $\Omega$ (ouvert étoilé quelconque de $\mathbb{R}^3$), et on notera $\Omega_c \subset \Omega$ le sous-domaine conducteur en présence de courants. Nous allons voir que les champs définis précédemment peuvent découler de différents potentiels.

Potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$

Prenons comme point de départ l’équation de Maxwell-Thomson dans ce domaine et regardons ce qu’elle implique :

${\bf a}$ est appelé potentiel vecteur magnétique.

Mais il en existe d’autres parfois plus pratiques ou efficaces (d’un point de vue numérique), nous y reviendrons dans la troisième partie du module.

Potentiel scalaire électrique $v$

Cas de problèmes magnétiques

Dans le cas de problèmes magnétiques, nous avons besoin de connaître les sources, donc ${\bf j}$, donc ${\bf e}$, dans les domaines conducteurs ($\Omega_c$).

Substituons alors l’expression précédente dans l’équation de Maxwell-Faraday :

Soit :

$v$ est appelé potentiel scalaire électrique.

Cas de problèmes électrostatiques ou électrocinétiques

Pour des problèmes électrostatiques ou électrocinétiques, nous voulons déterminer ${\bf e}$ (et ${\bf d}$ ou ${\bf j}$) dans tout le domaine d’étude.

Alors, partant de l’équation de Maxwell-Faraday en statique, nous avons directement :

avec $v$, le potentiel scalaire électrique.

Potentiel vecteur électrique ${\bf t}$

Nous avons déjà vu que l’équation Maxwell-Ampère impliquait la loi de nœuds locale. En partant de cette dernière, nous avons :

${\bf t}$ est appelé potentiel vecteur électrique.

Potentiel scalaire magnétique ${\bf \phi}$

En utilisant le potentiel ${\bf t}$, on peut développer Maxwell-Ampère comme :

Ainsi :

$\phi$ est appelé potentiel scalaire magnétique.

Lois globales

On considère un milieu matériel quelconque de volume $V$ de bord $\partial V = S$ représenté par la figure ci-dessous.

Conservation du flux

En appliquant le théorème de la divergence (théorème de Green-Ostrogradski) à l’induction magnétique ${\bf b}$ sur le volume $V$, on obtient :

D’après l’équation de Maxwell-Thomson, on a donc :

Ou encore :

Où $\Phi_1$ et $\Phi_2$ sont respectivement les flux de ${\bf b}$ à travers $S_1$ et $S_2$.

$\implies {\bf b}$ est à flux conservatif.

Théorème de Gauss

En appliquant le même théorème à l’induction électrique ${\bf d}$ sur le même volume $V$, et en y injectant l’équation de Maxwell-Gauss :

Soit :

Où $Q_V$ est la charge électrique totale contenue dans le volume $V$.

Théorème d’Ampère

Appliquons maintenant le théorème de Stokes au champ magnétique ${\bf h}$ sur le contour $C$ et reportons y l’équation de Maxwell-Ampère :

Soit :

Où $I_{S_1}$ représente le courant total traversant la surface $S_1$ (courant enlacé par le contour $C$).

Loi de Lenz-Faraday

Appliquons le même théorème au champ électrique ${\bf e}$, toujours sur le contour $C$ :

En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient :

En considérant que $C$ reste immobile dans le référentiel d’étude, on en déduit :

Soit :

Où : $\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l}$ est la force électromotrice (f.é.m $\mathcal{E}$).

Loi des nœuds

On a vu que la densité de courant ${\bf j}$ était elle-aussi à divergence nulle (par l’équation de Maxwell-Ampère). Par analogie avec l’induction magnétique, on obtient ainsi :

Soit :

$\Longrightarrow$ C’est la loi des nœuds !

Loi de Biot et Savart

Dans le cas particulier de milieux non-magnétiques (donc où ${\bf b} = \mu_0\,{\bf h}$), nous disposons d’une formule permettant de calculer une valeur locale de l’induction (au point ${\bf x_0}$) à partir de la distribution de courant source (supposée contenue dans le volume $V_s$) :

On dispose de formules analogues, pour :

• le potentiel vecteur magnétique : $${\bf a}({\bf x_0}) = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \iiint_{V_s} \frac{{\bf j}({\bf x})}{\lVert {\bf x_0}-{\bf x} \rVert}~\text{d} V_{(\bf x)}$$
• le champ électrique : $${\bf e}({\bf x_0}) = \frac{1}{4\,\pi\,\varepsilon_0} \iiint_{V_s} \frac{\rho_q({\bf x})\cdot({\bf x_0}-{\bf x})}{ \lVert {\bf x_0}-{\bf x} \rVert^3}~\text{d} V_{(\bf x)} $$
• le potentiel scalaire électrique : $$v({\bf x_0}) = \frac{1}{4\,\pi\,\varepsilon_0} \iiint_{V_s} \frac{\rho_q({\bf x})}{ \lVert {\bf x_0}-{\bf x} \rVert}~\text{d} V_{(\bf x)} $$

Conditions d'interfaces

Composantes normales

Considérons deux milieux $\#1$ et $\#2$ séparés par une surface $S$, la normale à la surface étant dirigée de $\#1$ vers $\#2$. Pour un infiniment petit quelconque $u$, on définit un petit cylindre de volume $v_c$, de rayon $r = o(u)$ et de hauteur $l = o(u^2)$ centré sur $S$.
Une représentation schématique est donnée par la figure ci-dessous.

En notant $s_1$ et $s_2$ les bases du cylindre contenues respectivement dans $\#1$ et $\#2$, et $s_l$ sa surface latérale, on a :

Continuité de la composante normale de ${\bf b}$

Appliquons la conservation du flux à notre cylindre :

Soit, en développant et en multipliant par $\frac{1}{s}$ :

Or :

Et :

Où ${\bf b_1}$ et ${\bf b_2}$ sont les valeurs de l’induction au centre du cylindre approché respectivement depuis les milieux $\#1$ ou $\#2$.

Ainsi par passage à la limite dans l’expression générale, on obtient :

On a donc continuité de la composante normale de l’induction magnétique ${\bf b}$ à travers la surface.

Saut de la composante normale de ${\bf d}$

Appliquons le raisonnement précédent en partant du théorème de Gauss :

Le terme de gauche peut-être traité exactement de la même façon que pour ${\bf b}$. Pour le terme de droite, on peut écrire :

En définissant localement la densité surfacique de charge $\sigma_q$ (densité de charge portée par la surface $s$, en $\text{C}\cdot\text{m}^{-2}$) par :

par passage à la limite ($u \to 0$), on obtient :

On a donc un saut de la composante normale de ${\bf d}$ à travers $S$.

Continuité de la composante normale de ${\bf j}$

Dans l’ARQS, puisque $\text{div}\,{\bf j} = 0$, on peut appliquer le même raisonnement que pour ${\bf b}$, et ainsi :

En particulier, sur le bord d’un conducteur isolé, ${\bf j_2}$ étant nulle à l’extérieur, on en déduit que la densité de courant est tangente à la surface.

Composantes tangentielles

En prenant une coupe de la configuration précédente, on obtient celle décrite par la figure ci-après.

Dans ce plan de coupe, on choisit arbitrairement un chemin rectangulaire $\mathscr{C}$, de sommets $A$, $B$, $C$ et $D$. Les segments $AB$ et $CD$ sont de longueurs $l_1 = l_2 = l = o(u)$ et portés par un vecteur unitaire quelconque orthogonal à la normale à la surface : ${\bf u_l}\perp{\bf n_{12}}$. Les segments $BC$ et $DA$ sont de longueur $\alpha = o(u^2)$ et portés par ${\bf n_{12}}$.

Continuité de la composante tangentielle de ${\bf e}$

La loi de Lenz-Faraday appliquée au contour $\mathscr{C}$ et multipliée par un facteur $\displaystyle\frac{1}{l}$, nous donne :

En développant le membre de gauche, on obtient :

Or :

De plus :

Finalement, on a :

Par passage à la limite ($u \to 0$), on obtient :

Où ${\bf e_1}$ et ${\bf e_2}$ sont les valeurs du champ électrique au centre du rectangle approché respectivement depuis les milieux $\#1$ ou $\#2$.

La relation précédente étant valable quelque soit le vecteur ${\bf u_l}\perp{\bf n_{12}}$ choisi, on peut en déduire :

On a donc continuité de la composante tangentielle du champ électrique.

Saut de la composante tangentielle de ${\bf h}$

En appliquant le théorème d’Ampère sur $\mathscr{C}$ et en multipliant chaque terme par un facteur $\frac{1}{l}$ on obtient :

Le terme de gauche peut être traité exactement de la même manière que dans le paragraphe précédent.

Intéressons-nous au terme de droite :

En définissant localement la densité surfacique de courant ${\bf j_s}$ (densité de courant portée par la surface $S$, en $\text{A}\cdot\text{m}^{-1}$) par :

on obtient, par passage à la limite ($u\to 0$) :

Où ${\bf h_1}$ et ${\bf h_2}$ sont les valeurs du champ magnétique au centre du rectangle approché respectivement depuis les milieux $\#1$ ou $\#2$, et ${\bf j_s}$ y est également la valeur de la densité surfacique de courant.

Ainsi, pour tout ${\bf u_l}\perp{\bf n_{12}}$ :

La densité superficielle de courant ${\bf j_s}$ étant portée par la surface $S$, et donc étant orthogonale à ${\bf n_{12}}$, on peut en déduire :

On a donc un saut de la composante tangentielle de ${\bf h}$ à travers $S$.

Grandeurs globales : énergies, flux et forces

De toutes les relations précédentes (Équations de Maxwell et lois de comportement), on peut normalement déduire les champs ${\bf h}$, ${\bf b}$, ${\bf e}$ et ${\bf d}$ à partir des sources ${\bf j}$ et $\rho_q$. Par contre, ils nous manque des informations si on désire déterminer les énergies et les forces dans le système étudié. C’est ce qui va nous intéresser dans cette partie.

• Énergies

  Tout part de là !

• Flux

  N'oublions pas que l'induction magnétique est la densité de flux.

• Forces

  Il faudra un peu d'efforts pour retrouver comment les calculer…

Régimes harmoniques

Dans le cas particulier où les sources sont des grandeurs variant sinusoïdalement en fonction du temps $t$, nous pourrons utiliser une représentation complexe (dans le domaine fréquentiel) qui permet de s’affranchir de la dépendance à la variable $t$ : on l’appelle la représentation de Fresnel.

Transformation complexe

Soit $u(t)$ une fonction sinusoïdale de fréquence $f=\frac{1}{T}$ de la forme :

où :

• $\omega$ est la pulsation ($=2\,\pi\,f$)
• $\varphi$ est la phase de $u$
• $u_{\text{eff}}$ est sa valeur efficace définie par : $$u_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T}\,\int_{0}^{T} u(t)^2\,\text{d} t}$$

Nous pouvons alors définir le complexe $\underline{u}$ tel que : ${u(t) \mapsto \underline{u} ~ , ~ \text{tel que : } u(t) = \mathcal{Re}\left[ \sqrt{2} \, \underline{u} \, \text{e} ^{j \omega t}\right]}$, soit :

.

La valeur efficace et la phase suffisent à définir le nombre complexe représentatif du signal temporel, et sont respectivement son module et son argument.

Ainsi, la dérivation par rapport au temps dans le repère complexe devient une simple multiplication par le terme $j \omega$, c’est-à-dire :

Nous pouvons le vérifier :

Application au champ électromagnétique

Si nous considérons un système électromagnétique alimenté par des tensions ou courants sinusoïdaux (de même pulsation $\omega$, pas trop élevée pour rester dans l’ARQS), les champs en résultant seront eux aussi sinusoïdaux en temps. Nous pouvons donc leur appliquer la transformation complexe précédente.

Par exemple, le champ magnétique sera :

Soit :

avec

Toutes les relations que nous avons vu jusqu’à maintenant pourront s’appliquer en complexe. Nous ne traiterons pas le cas de l’électrostatique (car statique comme son nom l’indique).

Équations de Maxwell

En régime harmonique, les équations de Maxwell sont :

Loi de comportement

En régime harmonique, nous aurons :

Potentiels

Nos potentiels peuvent se définir en complexe également :

Lien avec les grandeurs globales

• Courant : $$\underline{I} = \iint_{S_c} {\bf \underline{j}}\cdot{\bf d S}$$
• Flux magnétique : $$\underline{\Phi} = \iint_{S} {\bf \underline{b}}\cdot{\bf d S}$$
• Fém : $$\underline{\mathcal{E}} = - j \omega\,\underline{\Phi}$$
• Densité volumique de pertes Joule : $$p_j = \rho\,{\bf \underline{j}}\cdot{\bf j}^* = \frac{1}{\sigma}\,{\bf \underline{j}}\cdot{\bf j}^*$$
  Remarque

  Dans l’expression ci-dessus, on a utilisé $^{\*}$ comme notation pour le complexe conjugué, et on a fait apparaître le produit hermitien. On pourrait facilement montrer que la densité de pertes ainsi définie correspond à :

  $$p_j = \left< p_j(t) \right> = \frac{1}{T}\int_0^T \rho\,\lVert {\bf j}(x,y,z,t) \rVert^2\,\text{d}t$$
• Densité volumique d’énergie et coénergie magnétiques : $$w_{mag} = \frac{1}{2\,\mu}\,{\bf \underline{b}}\cdot{\bf b}^* = \frac{1}{2}\,\mu\,{\bf \underline{h}}\cdot{\bf h}^*=\widetilde{w}_{mag}$$

Exercices de synthèse

Ex. 1. : Résistance d’une barre cylindrique alimentée en continu

Calculer la résistance d’une barre de cuivre de section circulaire $S$ et de longueur $L$ alimentée par une tension $U$ constante.

Ex. 2. : Condensateurs

Calculer les valeurs de capacités :

1. du condensateur plan suivant :

2. du condensateur cylindrique :

Les deux étant constitués de deux électrodes séparées par un milieu diélectrique de permittivité relative $\varepsilon_r$.

Ex. 3. : Bobine rectangulaire

On considère une bobine rectangulaire à $N$ spires, de longueur $L$ très grande devant sa largeur, telle que représentée ci-dessous :

On désire calculer le champ d’induction créé par cette bobine, sans négliger le rayon des conducteur (on ne sera donc pas dans le cas d’un circuit filiforme).

Pour ce faire, nous procéderons par étapes :

1. Après avoir précisé les hypothèses, calculer le champ crée par un conducteur cylindrique de rayon $r_c$ parcouru par un courant I (ligne unifilaire).

   Cliquer pour afficher un indice

   On pourra penser à utiliser le théorème d’Ampère pour calculer le champ.

2. Dans le langage de votre choix, tracer le champ et les lignes correspondantes :

   1. Par des lignes de courant (streamline) ;
   2. En traçant les isovaleurs du potentiel vecteur associé ($a_z$) après l’avoir déterminé.
   Cliquer pour afficher la solution en MATLAB

   close all; clear; clc
   
   %%% ligne unifilaire
   I = 1;        % courant (A)
   rc = 1e-3;    % rayon conducteur (m)
   adom = 2e-2;  % largeur domaine (m)
   
   npoints = 100; x = linspace(-adom/2,adom/2,npoints); y = x;
   bfil = @(x,y) b_fil(x,y,0,0,rc,I); 
   [X,Y] = meshgrid(x,y); [BX,BY] = arrayfun(bfil,X,Y);
   
   % trace du champ b et des lignes correspondantes par streamline
   nlignes = 6; 
   figure(1)
   quiver(X,Y,BX,BY,5,'r')
   axis equal; hold on; 
   startx = linspace(rc,3*adom/4,nlignes); starty = zeros(1,nlignes);
   streamline(X,Y,BX,BY,startx,starty,Color="blue")
   
   % mieux : tracé des lignes par isovaleurs du potentiel vecteur
   nlignes = 15;
   azfil = @(x,y) a_fil(x,y,0,0,rc,I);
   AZ = arrayfun(azfil,X,Y);
   figure(2)
   quiver(X,Y,BX,BY,5,'r')
   axis equal; hold on;
   contour(X,Y,AZ,nlignes,'LineWidth',2)
   
   % dessin du conducteur
   nt = 60; theta = linspace(0,2*pi,nt); 
   xt = rc.*cos(theta); yt = rc.*sin(theta);
   plot(xt,yt,'k','LineWidth',2)
   
   %#####################
   %
   %     fonctions
   %
   %#####################
   
   function [bx,by] = b_fil(x,y,xc,yc,rc,I)
       % induction creee par le fil conducteur
       mu0=4e-7*pi;
       X = x-xc; Y = y-yc;
       r = sqrt(X^2+Y^2);
       if (r<=rc) 
           h_theta = I/(2*pi)*r/rc^2;
       else
           h_theta = I/(2*pi*r);
       end
       normb = mu0*h_theta;
       theta = atan2(Y,X);
       bx = -normb*sin(theta);
       by = normb*cos(theta);
   end
   
   function az = a_fil(x,y,xc,yc,rc,I)
       % potentiel vecteur cree par le fil conducteur
       mu0=4e-7*pi;
       X = x-xc;
       Y = y-yc;
       r = sqrt(X^2+Y^2);
       if (r<=rc) 
           az = -mu0*I/(4*pi)*r^2/rc^2;
       else
           az = -mu0*I/(2*pi)*(1/2+log(r/rc));
       end
   end

3. En déduire celui crée par le conducteur précédent et son retour séparés d’une distance $d_{if}$.

   Cliquer pour afficher un indice

   On pourra penser à utiliser le théorème de superposition.

   Cliquer pour afficher la solution en MATLAB

   close all; clear; clc
   
   %%% ligne bifilaire
   I = 1;        % courant (A)
   rc = 1e-3;    % rayon conducteur (m)
   dif = 1e-2;   % distance inter-fils
   adom = 2*dif; % largeur domaine (m)
   
   bfil1  = @(x,y) b_fil(x,y, dif/2,0, rc, I); 
   azfil1 = @(x,y) a_fil(x,y, dif/2,0, rc, I);
   bfil2  = @(x,y) b_fil(x,y,-dif/2,0, rc,-I); 
   azfil2 = @(x,y) a_fil(x,y,-dif/2,0, rc,-I);
   
   npoints = 100; x = linspace(-adom/2,adom/2,npoints); y = x; 
   [X,Y] = meshgrid(x,y);
   [B1X,B1Y] = arrayfun(bfil1,X,Y); [B2X,B2Y] = arrayfun(bfil2,X,Y);
   BX = B1X + B2X; BY = B1Y + B2Y;
   AZ1 = arrayfun(azfil1,X,Y); AZ2 = arrayfun(azfil2,X,Y);
   AZ = AZ1 + AZ2;
   
   figure(1)
   nlignes = 25;
   quiver(X,Y,BX,BY,5,'r')
   axis equal; hold on;
   contour(X,Y,AZ,nlignes,'LineWidth',2)
   
   % dessin des conducteurs
   nt = 60; theta = linspace(0,2*pi,nt); 
   xd = dif/2+rc.*cos(theta); yd = rc.*sin(theta);
   xg = -dif/2+rc.*cos(theta); yg = yd;
   plot(xg,yg,'k','LineWidth',3)
   plot(xd,yd,'k','LineWidth',3)
   
   %#####################
   %
   %     fonctions
   %
   %#####################
   
   function [bx,by] = b_fil(x,y,xc,yc,rc,I)
       % induction creee par le fil conducteur
       mu0=4e-7*pi;
       X = x-xc; Y = y-yc;
       r = sqrt(X^2+Y^2);
       if (r<=rc) 
           h_theta = I/(2*pi)*r/rc^2;
       else
           h_theta = I/(2*pi*r);
       end
       normb = mu0*h_theta;
       theta = atan2(Y,X);
       bx = -normb*sin(theta);
       by = normb*cos(theta);
   end
   
   function az = a_fil(x,y,xc,yc,rc,I)
       % potentiel vecteur cree par le fil conducteur
       mu0=4e-7*pi;
       X = x-xc;
       Y = y-yc;
       r = sqrt(X^2+Y^2);
       if (r<=rc) 
           az = -mu0*I/(4*pi)*r^2/rc^2;
       else
           az = -mu0*I/(2*pi)*(1/2+log(r/rc));
       end
   end

4. En déduire finalement le champ total créé par la bobine et retrouver le tracé de la solution :

close all; clear; clc

%%% bobine rectangulaire
I = 1;        % courant (A)
rc = 1e-3;    % rayon conducteur (m)
dif = 1e-2;   % distance inter-fils
nspires = 9;  % nombre de spires
dis = 3e-3;   % distance inter-spires
adom = max(2*dif,1.5*(nspires-1)*dis); % largeur domaine (m)

npoints = 100; x = linspace(-adom/2,adom/2,npoints); y = x;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
BX = zeros(npoints); BY = zeros(npoints); AZ = zeros(npoints);

for k = 1:nspires
    bfil1  = @(x,y) b_fil(x,y, dif/2,-(nspires-1)*dis/2+(k-1)*dis, rc, I);
    azfil1 = @(x,y) a_fil(x,y, dif/2,-(nspires-1)*dis/2+(k-1)*dis, rc, I);
    bfil2  = @(x,y) b_fil(x,y,-dif/2,-(nspires-1)*dis/2+(k-1)*dis, rc,-I);
    azfil2 = @(x,y) a_fil(x,y,-dif/2,-(nspires-1)*dis/2+(k-1)*dis, rc,-I);
    [B1X,B1Y] = arrayfun(bfil1,X,Y); [B2X,B2Y] = arrayfun(bfil2,X,Y);
    BX = BX + B1X + B2X; BY = BY + B1Y + B2Y;
    AZ1 = arrayfun(azfil1,X,Y); AZ2 = arrayfun(azfil2,X,Y);
    AZ = AZ + AZ1 + AZ2;
end

figure(1)
nlignes = 30;
quiver(X,Y,BX,BY,5,'r')
axis equal; hold on;
contour(X,Y,AZ,nlignes,'LineWidth',2)
% dessin des conducteurs
nt = 60; theta = linspace(0,2*pi,nt); 
xt = rc.*cos(theta); yt = rc.*sin(theta);
xg = zeros(nspires,nt); yg = zeros(nspires,nt);
xd = zeros(nspires,nt); yd = zeros(nspires,nt);
for k = 1:nspires
    xg(k,:) = -dif/2+xt; xd(k,:) = dif/2+xt;
    yg(k,:) = -(nspires-1)*dis/2+(k-1)*dis+yt; yd(k,:) = yg(k,:);
    plot(xg(k,:),yg(k,:),'k','LineWidth',2)
    plot(xd(k,:),yd(k,:),'k','LineWidth',2)
end

%%%###################
%
%     fonctions
%
%#####################

function [bx,by] = b_fil(x,y,xc,yc,rc,I)
    % induction creee par le fil conducteur
    mu0=4e-7*pi;
    X = x-xc; Y = y-yc;
    r = sqrt(X^2+Y^2);
    if (r<=rc)
        h_theta = I/(2*pi)*r/rc^2;
    else
        h_theta = I/(2*pi*r);
    end
    normb = mu0*h_theta;
    theta = atan2(Y,X);
    bx = -normb*sin(theta);
    by = normb*cos(theta);
end

function az = a_fil(x,y,xc,yc,rc,I)
    % potentiel vecteur cree par le fil conducteur
    mu0=4e-7*pi;
    X = x-xc;
    Y = y-yc;
    r = sqrt(X^2+Y^2);
    if (r<=rc)
        az = -mu0*I/(4*pi)*r^2/rc^2;
    else
        az = -mu0*I/(2*pi)*(1/2+log(r/rc));
    end
end

Ex.4. : Cylindre plongé dans un champ uniforme

On considère une région de l’espace où règne un champ d’induction uniforme (imposé par une source extérieure) de la forme : ${\bf b} = B_{0}\,{\bf u_x}$.
On place à l’intérieur de cette zone un cylindre de rayon $R$ constitué d’un matériau de perméabilité relative $\mu_r$ constante.

1. Caluler, par séparation des variables, le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ en tout point du domaine.

2. En déduire le tracé des lignes de champ d’induction correspondantes et observer les différents cas possibles en fonction du type du matériau. C’est-à-dire :

Utiliser le langage de votre choix : MATLAB (ou GNU/Octave), Python, Julia, etc…

close all; clear; clc

% cylindre dans champ uniforme
R = 2e-2;    % rayon du cylindre
adom = 6*R;  % largeur du domaine
B0 = 1;      
mur = 1e3;   

% evaluation sur grille
a = @(x,y) az(x,y,R,mur,B0); 
npoints = 100; x = linspace(-adom/2,adom/2,npoints); y = x;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
AZ = arrayfun(a,X,Y);

% tracé
nlignes = 30;
contour(X,Y,AZ,nlignes,'LineWidth',1)
axis equal; hold on;
nc = 60; theta = linspace(0,2*pi,nc);     % contour du cylindre
plot(R*cos(theta),R*sin(theta),'k','LineWidth',2)

% fonction calcul du potentiel vecteur
function a = az(x,y,R,mur,B0)
	r = sqrt(x^2+y^2);
	theta = atan2(y,x);
	if (r <= R)
	    a = 2*mur/(mur+1)*B0*r*sin(theta);
	else
	    a = B0*(r+(mur-1)/(mur+1)*R^2/r)*sin(theta);
	end
end

Ex. 5. : Câble coaxial

On considère un câble coaxial portant un courant $I$ tel que représenté sur la figure ci-dessous.

1. Après avoir calculé le rayon intérieur du coax permettant d’assurer la même densité de courant dans les conducteurs aller et retour, calculer le champ magnétique en tout point de l’espace.
2. En déduire l’énergie magnétique (par unité de longueur) et la valeur de l’inductance linéique du câble.

close all; clear; clc

% rayons du cable coaxial :
Ri = 1e-3;
R0 = 2e-3;
Re = sqrt(Ri^2+R0^2); % pour egalite des surfaces
Rdom = 1.5*Re;          % fin du trace

I = 15; % courant (A)

% fonction pour calculer le champ
h_theta = @(r) I/(2*pi)*((r<=Ri)*r/Ri^2+(Ri<r)*(r<=R0)/r...
     +(R0<r)*(r<=Re)*(1 -(r^2-R0^2)/(Re^2-R0^2))/r);

npoints = 1000; rt = linspace(0,Rdom,npoints);
ht = arrayfun(h_theta,rt); % evaluations 
% trace du resultat
plot(rt,ht,LineWidth=2)
title("h_\theta en fonction de la distance au centre du coax")
grid on; xlabel("r (en mm)"); ylabel("h_\theta (en A/m)")
xticks([0 Ri R0 Re]) ; xticklabels(["0", "R_i", "R_0", "R_e"])
yticks([0 I/2/pi/R0 I/2/pi/Ri]); 
yticklabels(["0", "I/(2\pi R_0)", "I/(2\pi R_1)"])

Ex. 6 : Transformateur élémentaire

On considère le transformateur élémentaire donné par la figure ci-dessous. Le primaire (en bleu) est constitué de $N_1$ spires, et le secondaire (en rouge) en comporte $N_2$.

1. Calculer les inductances propres et mutuelle dans le cas où la loi de comportement du matériau magnétique est linéaire (de perméabilité relative $\mu_r$).
2. Reprendre la question précédente dans le cas d’une loi de comportement non-linéaire. Choisir des valeurs réalistes pour les paramètres afin de tracer l’évolution des inductances en fonction des courants. On résoudra avec un petit programme au choix en : MATLAB (ou GNU/Octave), ou Python, ou Julia, ou autre…
   Je vous donne les vecteurs associés à la courbe $B(H)$ du matériau (XC10) et un exemple de son utilisation en MATLAB :

% Valeurs correspondant au XC10 :
H = [0.000000, 79.577472, 100.182101, 126.121793, 158.777930, 199.889571, 251.646061, ...
	316.803620, 398.832128, 502.099901, 632.106325, 795.774715, 1001.821011, ...
	1261.217929, 1587.779301, 1998.895710, 2516.460605, 3168.036204, 3988.321282, ...
	5020.999013, 6321.063250, 7957.747155, 10018.210114, 12612.179293, 15877.793010, ...
	19988.957103, 25164.606052, 31680.362037, 39883.212823, 50209.990127, 63210.632497, ...
	79577.471546, 100182.101136, 126121.792926, 158777.930096, 199889.571030, ...
	251646.060522, 316803.620370];

B = [0.000000, 0.211862, 0.265665, 0.332377, 0.414377, 0.513811, 0.631899, 0.767784, ...
	0.917018, 1.070353, 1.214255, 1.334637, 1.422981, 1.480634, 1.517214, 1.544515, ...
	1.571296, 1.602049, 1.638404, 1.680490, 1.727311, 1.776659, 1.825401, 1.870557, ...
	1.910809, 1.947222, 1.982328, 2.018252, 2.055398, 2.092545, 2.128095, 2.161612, ...
	2.194644, 2.230339, 2.272386, 2.324282, 2.389356, 2.471238];

% calcul de B(H)
function Bres = BdeH(B,H,valH)
	if ( valH < H(length(H)) )
		Bres = interp1(H,B,valH);
	else
		Bres = B(length(B))+mu0*(valH-H(length(H)));
	end
end

clear; clc;

a = 3e-2; 
b = 5e-2;
c = 10e-2;
N1 = 100;
Lz = 15e-2;
Lf = 2*(2*a+b+c);

% Valeurs correspondant au XC10 :
H = [0.000000, 79.577472, 100.182101, 126.121793, 158.777930, 199.889571, 251.646061, ...
	316.803620, 398.832128, 502.099901, 632.106325, 795.774715, 1001.821011, ...
	1261.217929, 1587.779301, 1998.895710, 2516.460605, 3168.036204, 3988.321282, ...
	5020.999013, 6321.063250, 7957.747155, 10018.210114, 12612.179293, 15877.793010, ...
	19988.957103, 25164.606052, 31680.362037, 39883.212823, 50209.990127, 63210.632497, ...
	79577.471546, 100182.101136, 126121.792926, 158777.930096, 199889.571030, ...
	251646.060522, 316803.620370];

B = [0.000000, 0.211862, 0.265665, 0.332377, 0.414377, 0.513811, 0.631899, 0.767784, ...
	0.917018, 1.070353, 1.214255, 1.334637, 1.422981, 1.480634, 1.517214, 1.544515, ...
	1.571296, 1.602049, 1.638404, 1.680490, 1.727311, 1.776659, 1.825401, 1.870557, ...
	1.910809, 1.947222, 1.982328, 2.018252, 2.055398, 2.092545, 2.128095, 2.161612, ...
	2.194644, 2.230339, 2.272386, 2.324282, 2.389356, 2.471238];

h1 = @(I) N1*I/Lf;
phi1 = @(I) N1*BdeH(B,H,h1(I))*2*a*Lz;
L1 = @(I) phi1(I)/I;

npoints = 500; Imax = 10;
I = linspace(0,Imax,npoints);
L = arrayfun(L1,I);
plot(I,L,"LineWidth",3)
xlabel("Courant (en A)"); ylabel("Inductance (en H)")
title("Inductance primaire en fonction du courant")
grid; axis([-inf inf 0 ceil(10*max(L))/10])

% calcul de B(H)
function Bres = BdeH(B,H,valH)
	mu0 = 4e-7*pi;
	if ( valH < H(length(H)) )
		Bres = interp1(H,B,valH);
	else
		Bres = B(length(B))+mu0*(valH-H(length(H)));
	end
end

Ex. 7. : Électroaimant

On considère l’électroaimant représenté sur la figure ci-dessous :

1. Considérons tout d’abord que le circuit magnétique est infiniment perméable (hypothèse du $\mu_{\infty}$). Calculer la force $F$ s’exerçant sur la partie mobile (plaque du bas) par les dérivées de l’énergie et la coénergie, et mettre en évidence la différence de signe entre les deux expressions. Retrouver ensuite la valeur de la force par le tenseur de Maxwell.

2. Recalculer la force par le tenseur mais dans le cas où le circuit magnétique a une loi de comportement linéaire (perméabilité $\mu_r$). En déduire l’expression de la force de collage (à entrefer $e$ nul).

3. En utilisant les valeurs de paramètres et de courbes $B(H)$ données ci-dessous, superposer les tracés de la force en fonction du courant ($F(I_c)$) dans les 2 cas : linéaire et non-linéaire.

mu0 = 4e-7*pi;  % H/m
aE = 1e-2;      % m
bE = 1e-2;
hE = 2e-2;
ent = 0.5e-3;
Ep = 1.e-2;
Lz = 20e-2;
N = 250;

% Loi de comportement des materiaux
% pour le E (M530) :
HE = [0.000000,  19.965330, 29.906288, 36.398771, 41.371669, 45.590262, 49.424859, ...
    53.082280, 56.692664, 60.347374, 64.117637, 68.064755, 72.246371, 76.720886, ...
    81.551123, 86.807959, 92.574503, 98.951520, 106.065047, 114.077777, 123.206911, ...
    133.753385, 146.151738, 161.058668, 179.516634, 203.267945, 235.379748, ...
    281.524948, 352.648412, 470.426179, 677.451541, 1051.068036, 1703.275165, ...
    2726.517959, 4137.981052, 5832.619704, 7939.552940, 10565.294335, 13843.912965, ...
    17970.359698, 23423.776432, 32234.325960, 51366.778967, 84577.843501, ...
    121162.493322, 160127.812767, 202470.282245];
BE = [0.00, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40, 0.45, 0.50, 0.55, ...
    0.60, 0.65, 0.70, 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, 0.95, 1.00, 1.05, 1.10, 1.15, 1.20, ...
    1.25, 1.30, 1.35, 1.40, 1.45, 1.50, 1.55, 1.60, 1.65, 1.70, 1.75, 1.80, 1.85, ...
    1.90, 1.95, 2.00, 2.05, 2.10, 2.15, 2.20, 2.25, 2.30];

% pour la plaque (XC10) :
Hp = [0.000000, 79.577472, 100.182101, 126.121793, 158.777930, 199.889571, 251.646061, ...
    316.803620, 398.832128, 502.099901, 632.106325, 795.774715, 1001.821011, ...
    1261.217929, 1587.779301, 1998.895710, 2516.460605, 3168.036204, 3988.321282, ...
    5020.999013, 6321.063250, 7957.747155, 10018.210114, 12612.179293, 15877.793010, ...
    19988.957103, 25164.606052, 31680.362037, 39883.212823, 50209.990127, 63210.632497, ...
    79577.471546, 100182.101136, 126121.792926, 158777.930096, 199889.571030, ...
    251646.060522, 316803.620370];
Bp = [0.000000, 0.211862, 0.265665, 0.332377, 0.414377, 0.513811, 0.631899, 0.767784, ...
    0.917018, 1.070353, 1.214255, 1.334637, 1.422981, 1.480634, 1.517214, 1.544515, ...
    1.571296, 1.602049, 1.638404, 1.680490, 1.727311, 1.776659, 1.825401, 1.870557, ...
    1.910809, 1.947222, 1.982328, 2.018252, 2.055398, 2.092545, 2.128095, 2.161612, ...
    2.194644, 2.230339, 2.272386, 2.324282, 2.389356, 2.471238];

% calcul de H(B)
function Hres = HdeB(B,H,valB)
	mu0 = 4e-7*pi;
	if ( valB < B(length(B)) )
		Hres = interp1(B,H,valB);
	else
		Hres = H(length(H))+1/mu0*(valB-B(length(B)));
	end
end

clear; clc

mu0 = 4e-7*pi;   % H/m
aE = 1e-2;      % m
bE = 1e-2;
hE = 2e-2;
ent = 0.5e-3;
Ep = 1.e-2;
Lz = 20e-2;
N = 250;

% Loi de comportement des materiaux
%--------------------------------------
% pour le E (M530) :
HE = [0.000000,  19.965330, 29.906288, 36.398771, 41.371669, 45.590262, 49.424859, ...
    53.082280, 56.692664, 60.347374, 64.117637, 68.064755, 72.246371, 76.720886, ...
    81.551123, 86.807959, 92.574503, 98.951520, 106.065047, 114.077777, 123.206911, ...
    133.753385, 146.151738, 161.058668, 179.516634, 203.267945, 235.379748, ...
    281.524948, 352.648412, 470.426179, 677.451541, 1051.068036, 1703.275165, ...
    2726.517959, 4137.981052, 5832.619704, 7939.552940, 10565.294335, 13843.912965, ...
    17970.359698, 23423.776432, 32234.325960, 51366.778967, 84577.843501, ...
    121162.493322, 160127.812767, 202470.282245];
BE = [0.00, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40, 0.45, 0.50, 0.55, ...
    0.60, 0.65, 0.70, 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, 0.95, 1.00, 1.05, 1.10, 1.15, 1.20, ...
    1.25, 1.30, 1.35, 1.40, 1.45, 1.50, 1.55, 1.60, 1.65, 1.70, 1.75, 1.80, 1.85, ...
    1.90, 1.95, 2.00, 2.05, 2.10, 2.15, 2.20, 2.25, 2.30];
% pour la plaque (XC10) :
Hp = [0.000000, 79.577472, 100.182101, 126.121793, 158.777930, 199.889571, 251.646061, ...
    316.803620, 398.832128, 502.099901, 632.106325, 795.774715, 1001.821011, ...
    1261.217929, 1587.779301, 1998.895710, 2516.460605, 3168.036204, 3988.321282, ...
    5020.999013, 6321.063250, 7957.747155, 10018.210114, 12612.179293, 15877.793010, ...
    19988.957103, 25164.606052, 31680.362037, 39883.212823, 50209.990127, 63210.632497, ...
    79577.471546, 100182.101136, 126121.792926, 158777.930096, 199889.571030, ...
    251646.060522, 316803.620370];
Bp = [0.000000, 0.211862, 0.265665, 0.332377, 0.414377, 0.513811, 0.631899, 0.767784, ...
    0.917018, 1.070353, 1.214255, 1.334637, 1.422981, 1.480634, 1.517214, 1.544515, ...
    1.571296, 1.602049, 1.638404, 1.680490, 1.727311, 1.776659, 1.825401, 1.870557, ...
    1.910809, 1.947222, 1.982328, 2.018252, 2.055398, 2.092545, 2.128095, 2.161612, ...
    2.194644, 2.230339, 2.272386, 2.324282, 2.389356, 2.471238];

% Longueurs du contour
lE = 2*hE + 2*aE + bE;   % dans le E
lp = bE + Ep + aE;       % dans la plaque

% en lineaire
npoints = 1000; Imax = 10;
I = linspace(0,Imax,npoints);
murE = (BE(3)-BE(2))/(HE(3)-HE(2))/mu0;  % db/dh
murp = (Bp(3)-Bp(2))/(Hp(3)-Hp(2))/mu0;

he = N*I/(2*ent+lE/murE+lp/murp);
ForceLin = 2*mu0*aE*Lz*he.^2;

% en non-lineaire
ThmAmpere = @(b,I) HdeB(BE,HE,b)*lE + 2*ent*b/mu0 + HdeB(Bp,Hp,b*aE/Ep)*lp - N*I;
options = optimoptions("fsolve");
options.Display = 'off';
be = @(I) fsolve(@(b) ThmAmpere(b,I),mu0*N*I/(2*ent+lE/murE+lp/murp),options);
ForceNL = @(I) 2/mu0*aE*Lz*be(I)^2;
ForceNonLin = arrayfun(ForceNL,I);

% tracé
plot(I,ForceLin,I,ForceNonLin,'LineWidth',2)
grid; xlabel('Courant (en A)'); ylabel('Force (en N)')
title ('Force en fonction du courant')
legend(' En linéaire',' En non-linéaire',"Location","northwest")


% calcul de H(B)
function Hres = HdeB(B,H,valB)
    mu0 = 4e-7*pi;
	if ( valB < B(length(B)) )
		Hres = interp1(B,H,valB);
	else
		Hres = H(length(H))+1/mu0*(valB-B(length(B)));
	end
end

Ex. 8. : Barre de machine asynchrone

Le but de l’exercice est de calculer l’inductance de fuite et la résistance d’une barre de machine asynchrone à cage en fonction de la fréquence du courant rotorique. Lorsque le rayon d’alésage de la machine est assez grand, le problème peut se ramener à un problème 2D cartésien tel que représenté par la figure :

Cas statique :

Le courant I circulant dans la barre est supposé continu ($I = I_0$). Après avoir précisé vos hypothèses :

1. Que vaut la densité de courant dans le cuivre $j$ ? En déduire la valeur des pertes Joule et de la résistance de la barre $R_0$.
2. Tracer l’allure des lignes de champ dans cette portion de dispositif.
3. En utilisant le théorème d’Ampère, calculer la valeur du champ magnétique $h$ dans l’encoche, c’est-à-dire : dans la zone d’air entre le cuivre et l’entrefer, et dans la barre de cuivre.
4. Tracer $h_x(y)$ pour $y \in [0 ; h 1 + h 2 ]$.
5. En déduire la valeur de l’énergie magnétique $W_e$ stockée dans l’encoche, et l’inductance de fuite $L_{f_0}$ définie par : $$W_e = \frac{1}{2}\,L_{f_0}\,I^2$$

Cas harmonique :

Le courant I est maintenant supposé sinusoïdal : $I(t) = I_{\text{eff}}\,\sqrt{2}\,\sin(\omega\,t)$.

1. Dans quelle zone de l’encoche peut-on encore utiliser le théorème d’Ampère ?
2. Quelle est l’équation vérifiée par $h$ dans le cuivre ?
3. Résoudre cette équation grâce à un passage en complexes.
4. En déduire la valeur de $W_e$, puis de l’inductance de fuite $L_f$ en fonction de la fréquence.
5. À partir des questions précédentes, déterminer la valeur de la densité de courant complexe dans le cuivre. En déduire la valeur des pertes Joule et de la résistance $R$ de la barre en fonction de la fréquence.
6. Vérifier les cas limites : $\lim\limits_{\omega \to 0} L_f (\omega) = L_{f_0}$ et $\lim\limits_{\omega\to 0} R(\omega) = R_0$.

Tracé des résultats :

Ex. 9. : Résistance d’une barre cylindrique alimentée en alternatif

La barre de cuivre de l’exercice Ex.1 est désormais alimentée en courant alternatif.
Calculer la densité de courant lorsque la barre est parcourue par un courant $I(t) = \sqrt{2}\,I_{\text{eff}}\,\cos(\omega\,t)$.

On utilise la transformation en complexes pour résoudre l’équation locale satisfaite par $\underline{\bf j}$ :

1. Après avoir constaté que la densité de courant complexe est de la forme $\underline{\bf j} = \underline{j_z} (r)\,{\bf u_z}$, donner l’équation différentielle ordinaire satisfaite par $\underline{j_z}$.
2. Résoudre cette équation en cherchant une solution sous la forme d’une série entière.
   On pensera à introduire l’épaisseur de peau $\delta = \sqrt{\frac{2}{\sigma \mu_0 \omega}}$
3. Exprimer la formule générale de cette solution de façon plus concise en utlisant les fonctions de Bessel de première espèce $J_n$.
4. Grâce à une condition de passage judicieusement choisie, retrouver la solution du problème : $$ \displaystyle\underline{j_z}(r) = \frac{\sqrt{-j}\,I_{\text{eff}}}{\sqrt{2}\,\pi R\,\delta} \frac{J_0(\sqrt{-j}\,\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})}{J_1(\sqrt{-j}\,\frac{\sqrt{2}\,R}{\delta})}$$
5. En déduire l’expression de la densité volumique de puissance, puis les pertes Joules totales dans la barre, et donc sa résistance.
6. Tracer son évolution avec un logiciel de calcul numérique et discuter des cas limites : $\omega \rightarrow 0$ et $\omega \rightarrow \infty$.

Tracé des résultats :

close all; clear; clc;

mu0 = 4e-7*pi; R = 1e-2; sigma = 56e6; I = 10; L = 1; j = 1i;

npoints = 1000; r = linspace(0,R,npoints); theta = linspace(0,2*pi,npoints);
[RR,THETA] = meshgrid(r,theta); X = RR.*cos(THETA); Y = RR.*sin(THETA);

figure(1)
vf = [1e-9,100,10e3]; tf = ["f = 0 Hz","f = 100 Hz","f = 10 kHz"];
for k = 1:3
    subplot(1,3,k)
    f = vf(k); w = 2*pi*f; delta = sqrt(2/(sigma*mu0*w));
    jz = sqrt(-j)*I/(sqrt(2)*pi*R*delta*besselj(1,sqrt(-j*2)*R/delta)) ...
        *besselj(0,sqrt(-j*2)*r/delta);
    pj = real(1/sigma*jz.*conj(jz));
    PJ = repmat(pj,npoints,1);
    sl = surface(X,Y,PJ);
    sl.EdgeColor='none'; axis equal; axis([-R R -R R]); 
    xticks([]); yticks([]); colorbar; colormap jet; title(tf(k))
end

figure(2)
dr = R/(npoints-1);
nf = 10000; f_fin = 10e4; valf = linspace(1e-6,f_fin,nf); Res = zeros(1,nf);
for k = 1:nf
    w = 2*pi*valf(k);
    delta = sqrt(2/(sigma*mu0*w));
    jz = sqrt(-j)*I/(sqrt(2)*pi*R*delta*besselj(1,sqrt(-j*2)*R/delta))... 
        *besselj(0,sqrt(-j*2)*r/delta);
    pj = real(1/sigma*jz.*conj(jz));
    pjr = pj.*r;
    Pj = pi*sum(pjr(2:npoints)+pjr(1:(npoints-1)))*dr*L;
    Res(k) = Pj/I^2;
end
subplot(1,2,1)
R0 = 1/sigma*L/(pi*R^2); f = linspace(0.8*f_fin,f_fin,0.2*nf);
delta = sqrt(1./(sigma*mu0*pi*f)); Rinf = 1/sigma*L./(2*pi*delta*R);
plot([0 0.1*f_fin],1e3*[R0 R0],'--b',LineWidth=2); hold on;
plot(f,1e3*Rinf,'--k',LineWidth=2) 
plot(valf,1e3*Res,'r',LineWidth=2)
axis([0 f_fin 0 inf]); grid on;
title('Résistance en fonction de la fréquence','FontSize',16)
xlabel('f (en Hz)','FontSize',14); ylabel('R (en m\Omega)','FontSize',14)
legend([" R_0"," R_\infty(f)"," R(f)"],FontSize=14,Location="northwest")
subplot(1,2,2)
plot([0 100],1e3*[R0 R0],'--b',LineWidth=2); hold on;
plot(valf,1e3*Res,'r',LineWidth=2)
axis([0 500 floor(1e5*R0)/1e2 2e3*R0]); grid on; 
title("Zoom vers l'origine",'FontSize',14); 
xlabel('f (en Hz)','FontSize',14); ylabel('R (en m\Omega)','FontSize',16)

Ex. 10. : Chauffage par induction d’une plaque d’acier

On considère une plaque d’acier (de perméabilité $\mu$ et de conductivité $\sigma$) de longueur $L_z$ et de largeur $l_y$ très grandes devant son épaisseur $2\,e$. Cette plaque est placée à l’intérieur d’un inducteur correspondant à un solénoïde de longueur $L$ à $N$ spires jointives de forme rectangulaire.
Celui-ci est parcouru par un courant $I(t)$ imposé. Une représentation schématique du dispositif et le repère associé sont donnés par la figure ci-dessous :

1. Dans un premier temps, on considère uniquement l’inducteur.
   En précisant vos hypothèses, et en utilisant le théorème d’Ampère sur 3 contours judicieusement choisis, montrez que le champ magnétique à l’intérieur du solénoïde est uniforme et s’écrit : $ {\bf h_s} = n\,I(t)\,{\bf u_z} $.
   On explicitera la valeur de $n$ en fonction de $N$ et $L$.

2. Le courant d’alimentation est : $ I(t) = I_{\text{eff}} \sqrt{2}\,\cos(\omega\,t) $. Donner la forme complexe du courant $\underline{I}$, ainsi que du champ précédent $\underline{h_s}$.

3. Désormais, on insère la plaque dans l’inducteur. Donner, en le justifiant, l’équation générale de diffusion à laquelle obéit le champ magnétique à l’intérieur de celle-ci ( $x \in [−e; e]$).

4. À partir de l’équation précédente et de la question 2, donner la forme complexe du système permettant de calculer le champ complexe $\underline{\bf h}(x)$ dans la plaque. Soit : une équation différentielle ordinaire d’ordre 2 à coefficients constants complexes et 2 conditions aux limites.

5. Résoudre ce système (on fera intervenir l’épaisseur de peau $\delta$).

6. En déduire l’expression complexe de la densité de courant dans la plaque, puis celle de la densité volumique de puissance moyenne $p$ injectée dans la plaque par l’inducteur, et donc de la puissance moyenne totale $P$ injectée dans la plaque.

Tracé des résultats :