Grandeurs globales : énergies
Bilan de puissance (échelle locale)
Comme depuis le début, nous allons continuer de travailler à l’échelle locale. Pour ce faire, sortons quelque temps de l’ARQS et introduisons le vecteur de Poynting ${\bf \Pi_p}$, défini par :
$${\bf \Pi_p} = {\bf e}\wedge{\bf h}$$Pour un système électromagnétique contenu dans un volume $V$ de bord $\partial V = S$, la puissance énergétique $P_{\text{em}}$ apportée sous forme électromagnétique au système est donnée par le flux entrant de ${\bf \Pi_p}$, soit :
$$P_{\text{em}} = \oiint_S {\bf \Pi_p}\cdot {\bf n_e}\,\text{d} S$$où ${\bf n_e}$ est la normale entrante à la surface.
Ainsi, en réutilisant nos notations et en appliquant le théorème de la divergence :
$$P_{\text{em}} = - \oiint_S {\bf \Pi_p}\cdot {\bf dS} = \iiint_V \underbrace{-\text{div}\,\left({\bf e}\wedge{\bf h}\right)}_{\displaystyle p_{\text{em}}}\,\text{d} V$$Avec $p_{\text{em}}$ la densité volumique de puissance électromagnétique, qu’on peut développer avec l’identité vectorielle :
$$\text{div}\,\left({\bf e}\wedge{\bf h}\right) = ({\bf rot\,e})\cdot{\bf h}-{\bf e}\cdot({\bf rot\,h})$$Soit :
$$p_{\text{em}} = -{\bf h}\cdot({\bf rot\,e}) + {\bf e}\cdot({\bf rot\,h})$$En réinjectant les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday :
$$\begin{aligned}\displaystyle p_{\text{em}} &= {\bf h}\cdot\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}+ {\bf e}\cdot\left({\bf j} + \frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}\right) \\ \displaystyle &= \underbrace{{\bf e}\cdot{\bf j}}_{\displaystyle p_j} + \underbrace{{\bf h}\cdot\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}}_{\displaystyle p_{mag}} + \underbrace{{\bf e}\cdot\frac{\partial\,{\bf d}}{\partial t}}_{\displaystyle p_{el}}\end{aligned}$$Les différents termes étant :
- $p_j$ : densité volumique de puissance dissipée par effet Joule
- $p_{mag}$ : densité volumique de puissance magnétique
- $p_{el}$ : densité volumique de puissance électrostatique
Pertes Joule
Le premier terme du bilan de puissance précédent permet de calculer $P_J$ la puissance dissipée par effet Joule (production de chaleur). Il n’existe que dans les domaines conducteurs. Si nous regroupons ces derniers dans ce que nous appellerons $V_c$, on aura :
$$P_J = \iiint_{V_c} {\bf e}\cdot{\bf j}~\text{d} V$$Dans les conducteurs ohmiques, on sait que : ${\bf e} = \rho\,{\bf j}$, ou ${\bf j} = \sigma\,{\bf e}$.
Ainsi, la densité volumique de pertes Joule est :
$$p_j = \rho\, \lVert {\bf j} \rVert^2 = \frac{1}{\sigma}\, \lVert {\bf j} \rVert^2$$Et les pertes totales :
$$\boxed{P_J = \iiint_{V_c} \rho\, \lVert {\bf j} \rVert^2~\text{d} V}$$Dans le cas d’un conducteur portant un courant $I$, on peut directement identifier sa résistance $R$ grâce aux pertes Joule, car $P_J = R\,I^2$. Ainsi :
$$\boxed{R = \frac{1}{I^2} \iiint_{V_c} \rho\, \lVert{\bf j}\rVert^2~\text{d} V}$$Énergies
Énergie et coénergie magnétique
Énergie magnétique
En définissant $w_{mag}$ comme la densité d’énergie magnétique contenu dans le volume $V$, on a :
$$p_{mag} = \frac{\partial\,w_{mag}}{\partial t}$$La variation élémentaire de densité volumique d’énergie pendant $\text{d} t$ est ainsi :
$$\text{d}\,w_{mag} = p_{mag}\,\text{d} t = {\bf h}\cdot\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}\,\text{d} t$$On peut alors en déduire la densité volumique d’énergie magnétique emmagasinée dans le système (à l’instant $t$ correspondant au point de fonctionnement magnétique $({\bf h},{\bf b})$) par :
$$w_{mag} = \int_{t_0}^t {\bf h}\cdot\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}\,\text{d} t = \int_{0}^{b} {\bf h}\cdot{\bf d b}$$La borne d’intégration inférieure étant choisie arbitrairement pour correspondre à une « énergie stockée nulle » reflétant l’état initial du système.
Dans le cas particulier de milieux où la loi de comportement magnétique est linéaire (${\bf h}=\nu\,{\bf b}$), on a :
$$ w_{mag} = \int_{0}^{b} \nu\,{\bf b}\cdot{\bf d b} = \frac{\nu}{2} \lVert {\bf b} \rVert^2$$Soit :
$$\boxed{w_{mag} = \frac{\lVert {\bf b} \rVert^2}{2\,\mu}}$$Et, dans le cas général :
$$\boxed{w_{mag} = \int_{0}^{b} {\bf h}({\bf b})\cdot{\bf d b}}$$L’énergie magnétique contenue dans le volume $V$ est ainsi :
$$\boxed{W_{mag} = \left\{\begin{aligned} &\iiint_V \frac{\lVert{\bf b}\rVert^2}{2\,\mu} \,\text{d} V , &\text{en linéaire} \\ ~ & ~ \\ &\iiint_V \left(\int_{0}^{b} {\bf h}({\bf b})\cdot{\bf d b}\right) \,\text{d} V , &\text{en non-linéaire}\end{aligned}\right.}$$Coénergie magnétique
On peut également définir la densité volumique de coénergie magnétique $\widetilde{w}_{mag}$ par :
$$\widetilde{w}_{mag} + w_{mag} = {\bf h}\cdot{\bf b}$$Alors :
$$\begin{aligned}\text{d}\,\widetilde{w}_{mag} &= \text{d}\left({\bf h}\cdot{\bf b}\right) - \text{d}\,w_{mag} \\ &= {\bf d h}\cdot{\bf b} + \cancel{{\bf h}\cdot{\bf d b}} - \cancel{{\bf h}\cdot{\bf d b}} \\ &= {\bf b}\cdot{\bf d h}\end{aligned}$$On en déduit donc :
$$\widetilde{w}_{mag} = \int_{0}^{h} {\bf b}\cdot{\bf d h}$$Comme précédemment, la borne d’intégration inférieure est choisie arbitrairement pour correspondre à une « énergie stockée nulle » reflétant l’état initial du système.
Dans le cas particulier de milieux où la loi de comportement magnétique est linéaire (${\bf b}=\mu\,{\bf h}$), on a :
$$\widetilde{w}_{mag} = \int_{0}^{h} \mu\,{\bf h}\cdot{\bf d h} = \frac{\mu}{2} \lVert {\bf h} \rVert^2$$Soit :
$$\boxed{\widetilde{w}_{mag} = \frac{\mu\,\lVert{\bf h}\rVert^2}{2}}$$Et, dans le cas général :
$$\boxed{\widetilde{w}_{mag} = \int_{0}^{h} {\bf b}({\bf h})\cdot{\bf d h}}$$La coénergie magnétique contenue dans le volume $V$ est alors :
$$\boxed{\widetilde{W}_{mag} = \left\{\begin{aligned} &\iiint_V \frac{\mu\,\lVert{\bf h}\rVert^2}{2} \,\text{d} V , &\text{en linéaire} \\ ~ & ~ \\ &\iiint_V \left(\int_{0}^{h} {\bf b}({\bf h})\cdot{\bf d h}\right) \,\text{d} V , &\text{en non-linéaire}\end{aligned}\right.}$$Graphiquement, les deux densités volumique peuvent se représenter (dans le cas d’un matériau isotrope) par la figure ci-dessous.
Représentation des densités volumiques d'énergie et coénergie magnétiques
Remarque
En linéaire, les deux surfaces hachurées ci-dessus sont des triangles de même aire, et on a :
$$\boxed{w_{mag} = \frac{1}{2}\,{\bf h}\cdot{\bf b} = \widetilde{w}_{mag}}$$Astuce
En linéaire dans l’ARQS, lorsque les sources de champs sont des courants situés dans un sous-volume conducteur $V_c$, nous disposons d’une autre formule de calcul de l’énergie magnétique créée par ces courants reposant sur le potentiel vecteur magnétique.
En effet, d’après ce qui précède, dans ce cas :
On peut développer avec une identité vectorielle :
Ainsi :
En réinjectant Maxwell-Ampère et en appliquant le théorème de la divergence, on obtient :
On notera que l’intégrale volumique se limite au domaine conducteur $V_c$ (seul siège de courants).
Ainsi, pour un système électromagnétique contenu dans un volume choisi suffisamment grand pour que l’influence des sources soient négligeable sur la frontière (${\bf a}$ et/ou ${\bf h}$ nul), on obtient finalement :
Cette formule pourra s’avérer très utile en pratique.
Cas particulier des aimants permanents
En présence de matériaux durs tels que les aimants, nous ne sommes plus sur une courbe $b(h)$ passant par l’origine, mais les formules générales précédentes restent valables.
Nous allons juste choisir des bornes inférieures différentes :
- $b(h=0) = b_r$ pour l’énergie ;
- $h(b=0) = -h_c$ pour la coénergie.
Graphiquement, on peut ainsi représenter les densités correspondantes sur la figure suivante :
Représentation des densités volumiques d'énergie et coénergie magnétiques dans un aimant
Alors :
$${w}_{mag} = \int_{b_r}^{b} {\bf h}\cdot{\bf d b},~ ~ \text{et} ~ ~\widetilde{w}_{mag} = \int_{-h_c}^{h} {\bf b}\cdot{\bf d h}$$Dans le cas classique de matériaux très durs où la courbe ci-dessus peut être assimilée à une droite, on a ainsi :
$$\begin{aligned}{w}_{mag} &= \int_{b_r}^{b} \frac{\bf (\bf b-b_r)}{\mu_a}\cdot{\bf d b} \\ & = \frac{1}{\mu_a} \left[\frac{({\bf b-b_r})^2}{2}\right]_{br}^b \\ &= \frac{1}{2\,\mu_a} ({\bf b-b_r})^2 = \frac{\mu_a}{2}\,{\bf h}^2 \end{aligned}$$On peut faire de même pour la densité volumique de coénergie :
$$\begin{aligned}\widetilde{w}_{mag} &= \int_{-h_c}^{h} \mu_a\,({\bf h+h_c})\cdot{\bf d h}\\\ &=\mu_a \left[\frac{({\bf h+h_c})^2}{2}\right]_{-hc}^h \\ &= \frac{\mu_a}{2} ({\bf h+h_c})^2 = \frac{{\bf b}^2}{2\,\mu_a}\,\end{aligned}$$Attention
Chose un peu surprenante, l’expression des densités d’énergie et coénergie magnétiques dans un aimant permanent est l’inverse de celles dans les autres matériaux. Soit :
$$\boxed{w_{mag} = \frac{\mu_a\, \lVert {\bf h} \rVert^2}{2}}~ ~ \text{et} ~ ~\boxed{\widetilde{w}_{mag}=\frac{ \lVert {\bf b} \rVert^2}{2\,\mu_a}}$$Énergie électrostatique
Tout ce que nous avons fait en magnétisme ci-avant, peut se développer également en électrostatique à partie de la densité volumique de puissance $p_{el}$. Plutôt que de tout redévelopper, nous allons procéder par analogie :
- ${\bf h} \leftarrow {\bf e}$
- ${\bf b} \leftarrow {\bf d}$
- $\mu \leftarrow \varepsilon$
Ainsi, en ne considérant que le cas linéaire, nous obtenons, pour les densités volumiques d’énergie et coénergie électrostatiques :
$$\boxed{w_{el} = \frac{ \lVert {\bf d} \rVert^2}{2\,\varepsilon}=\frac{1}{2}\,{\bf e}\cdot{\bf d}=\frac{\varepsilon\, \lVert{\bf e} \rVert^2}{2}=\widetilde{w}_{el}}$$L’énergie électrostatique contenue dans le système est alors :
$$\boxed{W_{el} = \iiint_V \frac{1}{2}\,\varepsilon\,\lVert{\bf e}\rVert^2~\text{d} V = \widetilde{W}_{el}}$$Astuce
Nous disposons également d’une formule pour l’énergie basée sur le potentiel scalaire électrique $v$. Considérant que la densité volumique de charge $\rho_q$ se situe dans un sous-volume $V_q$ de $V$, on a :
$$\boxed{W_{el} = \frac{1}{2} \iiint_{V_q} \rho_q\,v~\text{d} V}$$Remarque
On aurait pu donner l’ensemble des relations possibles en considérant le cas non-linéaire, mais nous ne l’avons pas fait par souci de concision. On peut quand même fournir les densités volumiques d’énergie qui pourront, le cas échéant servir de point de départ :
$$w_{el} = \int_{0}^{d} {\bf e}\cdot{\bf d\,d},~ ~ ~ \text{et} ~ ~ ~ ~\widetilde{w}_{el} = \int_{0}^{e} {\bf d}\cdot{\bf d\,e}$$