Lois globales
On considère un milieu matériel quelconque de volume $V$ de bord $\partial V = S$ représenté par la figure ci-dessous.
Représentation schématique du domaine considéré.
Conservation du flux
En appliquant le théorème de la divergence (théorème de Green-Ostrogradski) à l’induction magnétique ${\bf b}$ sur le volume $V$, on obtient : $$\iiint_{V} \text{div}\,{\bf b}~\text{d} V = \oiint_{S} {\bf b}\cdot{\bf d S}$$ D’après l’équation de Maxwell-Thomson, on a donc :
$$\boxed{\oiint_S {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0}$$
Ou encore :
$$\underbrace{\iint_{S_1} {\bf b}\cdot{\bf d S_1}}_{\Phi_1} = - \underbrace{\iint_{S_2} {\bf b}\cdot{\bf d S_2}}_{\Phi_2}$$
Où $\Phi_1$ et $\Phi_2$ sont respectivement les flux de ${\bf b}$ à travers $S_1$ et $S_2$.
$\implies {\bf b}$ est à flux conservatif.
Théorème de Gauss
En appliquant le même théorème à l’induction électrique ${\bf d}$ sur le même volume $V$, et en y injectant l’équation de Maxwell-Gauss :
$$\oiint_S {\bf d}\cdot{\bf dS} = \iiint_V \text{div}\, {\bf d}~\text{d} V = \iiint_V \rho_q ~ \text{d} V $$
Soit :
$$\boxed{\oiint_S {\bf d}\cdot{\bf dS} = Q_V}$$
Où $Q_V$ est la charge électrique totale contenue dans le volume $V$.
Théorème d’Ampère
Appliquons maintenant le théorème de Stokes au champ magnétique ${\bf h}$ sur le contour $C$ et reportons y l’équation de Maxwell-Ampère :
$$\oint_C {\bf h}\cdot{\bf d l} = \iint_{S_1} {\bf rot}\,{\bf h} \cdot {\bf d S_1} = \iint_{S_1} {\bf j} \cdot {\bf d S_1}$$
Soit :
$$\boxed{\oint_C {\bf h}\cdot{\bf d l} = I_{S_1}}$$
Où $I_{S_1}$ représente le courant total traversant la surface $S_1$ (courant enlacé par le contour $C$).
Loi de Lenz-Faraday
Appliquons le même théorème au champ électrique ${\bf e}$, toujours sur le contour $C$ :
$$\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l} = \iint_{S_1} {\bf rot}\,{\bf e} \cdot {\bf d S_1}$$
En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient :
$$\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l} = - \iint_{S_1} \frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t}\cdot{\bf d S_1}$$
En considérant que $C$ reste immobile dans le référentiel d’étude, on en déduit :
$$\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l} = - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \iint_{S_1} {\bf b}\cdot{\bf d S_1} $$
Soit :
$$\boxed{\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l} = - \frac{\text{d}\,\Phi_1}{\text{d} t} }$$
Où : $\oint_C {\bf e}\cdot{\bf d l}$ est la force électromotrice (f.é.m $\mathcal{E}$).
Une bonne généralisation aux cas de circuits en mouvement se trouve dans [Four85].
Loi des nœuds
On a vu que la densité de courant ${\bf j}$ était elle-aussi à divergence nulle (par l’équation de Maxwell-Ampère). Par analogie avec l’induction magnétique, on obtient ainsi :
$$\boxed{\oiint_S {\bf j}\cdot{\bf d S} = 0}$$
Soit :
$$\underbrace{\iint_{S_1} {\bf j}\cdot{\bf d S_1}}_{I_1} + \underbrace{\iint_{S_2} {\bf j}\cdot{\bf d S_2}}_{I_2} = 0$$
$\Longrightarrow$ C’est la loi des nœuds !
Loi de Biot et Savart
Dans le cas particulier de milieux non-magnétiques (donc où ${\bf b} = \mu_0\,{\bf h}$), nous disposons d’une formule permettant de calculer une valeur locale de l’induction (au point ${\bf x_0}$) à partir de la distribution de courant source (supposée contenue dans le volume $V_s$) :
$$\boxed{{\bf b}({\bf x_0}) = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \iiint_{V_s} \frac{{\bf j}({\bf x})\wedge({\bf x_0}-{\bf x})}{|\!|{\bf x_0}-{\bf x}|\!|^3}~\text{d} V_{(\bf x)}}$$
En réalité, la formule ci-dessus est une généralisation de la Loi de Biot et Savart initialement énoncée pour un circuit filiforme.
On dispose de formules analogues, pour :
- le potentiel vecteur magnétique : $${\bf a}({\bf x_0}) = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \iiint_{V_s} \frac{{\bf j}({\bf x})}{|\!|{\bf x_0}-{\bf x}|\!|}~\text{d} V_{(\bf x)}$$
- le champ électrique : $${\bf e}({\bf x_0}) = \frac{1}{4\,\pi\,\varepsilon_0} \iiint_{V_s} \frac{\rho_q({\bf x})\cdot({\bf x_0}-{\bf x})}{|\!|{\bf x_0}-{\bf x}|\!|^3}~\text{d} V_{(\bf x)} $$
- le potentiel scalaire électrique : $$v({\bf x_0}) = \frac{1}{4\,\pi\,\varepsilon_0} \iiint_{V_s} \frac{\rho_q({\bf x})}{|\!|{\bf x_0}-{\bf x}|\!|}~\text{d} V_{(\bf x)} $$
En pratique, le principal intérêt de ce type de formule est de, parfois, permettre de calculer le champ source ou le potentiel vecteur électrique dans une formulation en potentiel scalaire magnétique.