Électrocinétique
Dans le cas de l’électrocinétique (en anglais electrokinetics ou current flow), nous nous intéresserons au calcul de la distribution de la densité volumique statique de courrant électrique ${\bf j}$ dans des conducteurs.
Les relations intervenant en électrocinétique sont :
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Les équations de Maxwell en statique suivantes : $$\left\{\begin{aligned}\text{div}\,{\bf j} &= 0\\{\bf rot}\,{\bf e} &= {\bf 0} \end{aligned}\right.$$
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La loi de comportement dans les milieux conducteurs électriques : $${\bf j} = \sigma\,{\bf e}$$
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Pour les conditions au limites, c’est-à-dire aux frontières du domaine d’étude $\Omega_c$, nous aurons :
- soit, d’après la condition sur la composante tangentielle de ${\bf e}$ sur les faces d’entrée ou sortie du courant $(\Gamma_d)$ : $$\left.{\bf n}\wedge{\bf e}\right|_{\Gamma_d} = {\bf 0}$$
- soit, d’après la condition sur la composante normale de ${\bf j}$ sur les autres bords du conducteurs $(\Gamma_n)$ : $$\left.{\bf n}\cdot{\bf j}\right|_{\Gamma_n} = 0$$
Formulation forte
Comme en électrostatique, nous pouvons définir le potentiel scalaire électrique $v$ tel que : ${\bf e} = -{\bf grad}\,v$.
En réinjectant cette relation couplée à la loi de comportement dans la loi des nœuds locale, on obtient : $$ \text{div}\left(\sigma\,{\bf grad}\,v \right) = 0$$
Sur les faces d’entrée et de sortie du courant $(\Gamma_d = \Gamma_{di}\cup\Gamma_{dj})$, deux cas seront possibles :
- Soit une condition de potentiel imposé par une condition de Dirichlet sur $\Gamma_{di}$ de type : $$v|_{\Gamma_{di}} = v_i$$
- Soit une condition de Neumann non-homogène imposant la densité de courant normale à la surface $\Gamma_{dj}$ : $$\left.\frac{\partial\,v}{\partial {\bf n}}\right|_{\Gamma_{dj}} = {\bf grad}\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma_{dj}} = \pm \frac{j_{n_j}}{\sigma}$$
Sur les autres bords du domaine $(\Gamma_n)$, nous aurons des conditions de Neumann homogènes : ${\bf grad}\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma_{n}} = 0$
Finalement, la forme complète de la formulation forte à résoudre est donc :
$$\left\{\begin{aligned}\text{div}\left(\sigma\,{\bf grad}\,v\right) &= 0~ , &\text{dans}~ \Omega_c\\ \left.v\right|_{\Gamma_{di}} &= v_i~ , &\text{sur}~ \Gamma_{di}\\\left.{\bf grad}\, v \cdot {\bf n}\right|_{\Gamma_{dj}} &= \pm \frac{j_{n_j}}{\sigma}~ , &\text{sur}~ \Gamma_{d_j} \\\left.{\bf grad}\, v \cdot {\bf n}\right|_{\Gamma_n} &= 0~ , &\text{sur}~ \Gamma_n \end{aligned}\right.$$
Formulation faible
La formulation faible correspondant à la forme forte ci-dessus est obtenue rapidement par analogie avec l’électrostatique :
Trouver $v \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_{di}} = v_i\}$, tel que :
$$\forall v’ \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega),~~ \left(\sigma\,{\bf grad}\,v,{\bf grad}\,v’\right)_{\Omega} + \left<j_{n_j},v’\right>_{\Gamma_{dj}} = 0$$
Exemples et applications
Résistance de sole de four électrique
On considère une résistance de sole de four électrique telle que représentée ci-dessous :
On désire calculer la distribution de la densité de courant à l’intérieur lorsqu’on applique une tension de 230 V à ses bornes, afin d’en déduire sa résistance via les pertes Joule associées.
L’implantation dans GetDP ressemble beaucoup au cas précédent :
Constraint {
{Name Dirichlet ;
Case {
{Region Sentree ; Type Assign ; Value Veff ;}
{Region Ssortie ; Type Assign ; Value 0. ;}
}
}
}
FunctionSpace {
{ Name Hgrad_v ; Type Form0 ;
BasisFunction {
{ Name sn ; NameOfCoef vn ; Function BF_Node ;
Support Region[{Domaine}] ; Entity NodesOf[All] ; }
}
Constraint {
{ NameOfCoef vn ; EntityType NodesOf ; NameOfConstraint Dirichlet ; }
}
}
}
Formulation {
{ Name Electrocinetique ; Type FemEquation ;
Quantity {
{ Name v ; Type Local ; NameOfSpace Hgrad_v ; }
}
Equation {
Galerkin { [ Sigma[]*Dof{Grad v} , {Grad v} ] ;
In Domaine ; Jacobian Jvol ; Integration Integ ; }
}
}
}
Après calcul, on obtient pour la répartition du potentiel scalaire électrique :
Vous pouvez télécharger les fichiers complets en cliquant ici .
Pour la petite histoire, voici une photo de celle de mon four perso après démontage pour changement suite à un défaut d’isolement :
Résistance de charge
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Traiter le problème analogue sur une forme correspondant aux résistances de charge utilisées sur nos bancs expérimentaux :
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En dimensionner une permettant de dissiper 2 kW sous 48 V continus.
On pourra utiliser comme conducteur du Constantan, par exemple du 45Ni-55Cu de résistivité électrique : $\rho = 14,9\cdot 10^{-7}~\Omega\cdot\text{m}$
Pour la géométrie, on pensera à utiliser une extrusion combinant à la fois une translation selon le vecteur $(v_{t_x},v_{t_y},v_{t_z})$ et une rotation d’un angle $\alpha$ autour de l’axe de vecteur directeur $(v_{a_x},v_{a_y},v_{a_z})$ et passant par le point $(x_a,y_a,z_a)$. Dans Gmsh, cela se définit de façon la plus simple :
Extrude{ {vtx,vty,vtz}, {vax,vay,vaz}, {xa,ya,za}, alpha } { Surface{numero}; }
ou de façon un peu plus élaborée (si on veut structurer le maillage) :
sortie[] = Extrude{ {vtx,vty,vtz}, {vax,vay,vaz}, {xa,ya,za}, alpha } { Surface{numero}; Layers{Ncouches}; Recombine; };
Busbar avec potentiel flottant
Tout comme dans le cas électrostatique de la section précédente, il est possible de définir, dans l’espace fonctionnel d’approximation $W^0$ , des grandeurs globales associées à notre inconnue $v$. Dans le cas présent, elles correspondront aux potentiels globaux $V_i$ imposés sur certaines faces du bords du domaine, ou aux courants $I_j$ traversant certaines autres.
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En utilisant (ou pas) ces grandeurs globales, calculer la distribution de courant à l’intérieur du busbar en cuivre représenté ci-dessous lorsque qu’un courant de 1000 A arrive par le haut et se sépare en 2 fois 500 A qui sortent par le bas.
Pour éviter de perdre trop de temps, je vous fournis la géométrie (libre à vous de l’utiliser ou non) :
Cliquer ici pour la télécharger
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Proposer des améliorations possibles du design d’un tel busbar (en terme de quantité de matière, masse, volume, pertes…).