Électrostatique

Dans le cas de l’électrostatique (en anglais electrostatics), nous nous intéresserons au calcul de la distribution du champ électrique e{\bf e} due à des charges statiques ou à différents niveaux de potentiel électrique.

Les relations intervenant en électrostatique sont :

  • Les équations de Maxwell en statique suivantes : {div d=ρqrot e=0\left\{\begin{aligned}\text{div}\,{\bf d} &= \rho_q\\{\bf rot}\,{\bf e} &= {\bf 0} \end{aligned}\right.

  • La loi de comportement dans les milieux diélectriques : d=ε e{\bf d} = \varepsilon\,{\bf e}

  • Pour les conditions aux limites, c’est-à-dire aux frontières du domaine d’étude (∂Ω=Γ=Γd∪Γn)(\partial\Omega = \Gamma = \Gamma_d\cup \Gamma_n), nous aurons :

    • soit, d’après la condition sur la composante tangentielle de e{\bf e} : n∧e∣Γd=0\left.{\bf n}\wedge{\bf e}\right|_{\Gamma_d} = {\bf 0}
    • soit, d’après la condition sur la composante normale de d{\bf d} : n⋅d∣Γn=0\left.{\bf n}\cdot{\bf d}\right|_{\Gamma_n} = 0

Formulation forte

Maxwell-Faraday en statique nous permet de définir le potentiel scalaire électrique v{\bf v} tel que : e=−grad v{\bf e} = -{\bf grad}\,v

Ainsi, dans le domaine d’étude Ω\Omega, l’équation satisfaite par vv est obtenue par substitution dans l’équation de Maxwell-Gauss : div(ε grad v)+ρq=0 \text{div}\left(\varepsilon\,{\bf grad}\,v \right) + \rho_q = 0

Attention : En électrostatique, les conducteurs sont supposés « parfaits », le champ électrique est nul à l’intérieur et donc vv y est constant.

En pratique, les conducteurs seront donc exclus du domaine d’étude et seules les conditions sur leurs bords (Γk)(\Gamma_k) interviendront :

  • soit en tant que condition de Dirichlet où : v∣Γi=viv|_{\Gamma_i} = v_i
  • soit en tant que condition de Neumann où : ∂ v∂n∣Γj=grad v⋅n∣Γj=−σqjε\left.\frac{\partial\,v}{\partial {\bf n}}\right|_{\Gamma_j} = {\bf grad}\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma_j} = -\frac{\sigma_{q_j}}{\varepsilon}

Aux frontières, nous aurons les mêmes conditions mais homogènes : v∣Γd=0  v|_{\Gamma_d} = 0~ ou  grad v⋅n∣Γn=0~{\bf grad}\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma_n} = 0.

Finalement, la forme complète de la formulation forte à résoudre est donc :

{div(ε grad v)+ρq=0 ,dans Ωv∣Γd=0 ,sur Γdv∣Γi=vi ,sur Γigrad v⋅n∣Γn=0 ,sur Γngrad v⋅n∣Γj=−σqjε ,sur Γj\left\{\begin{aligned}\text{div}\left(\varepsilon\,{\bf grad}\,v\right) + \rho_q &= 0~ , &\text{dans}~ \Omega\\ \left.v\right|_{\Gamma_d} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma_d \\ \left.v\right|_{\Gamma_i} &= v_i~, &\text{sur}~ \Gamma_i \\\left.{\bf grad}\, v \cdot {\bf n}\right|_{\Gamma_n} &= 0~ , &\text{sur}~ \Gamma_n \\\left.{\bf grad}\, v \cdot {\bf n}\right|_{\Gamma_j} &= -\frac{\sigma_{q_j}}{\varepsilon}~ , &\text{sur}~ \Gamma_j\end{aligned}\right.

Formulation faible

En appliquant le principe vu dans le chapitre précédent, nous en déduisons la formulation faible du problème :

Trouver v∈H0i(grad,Ω)={u∈H(grad,Ω):u∣Γd=0, u∣Γi=vi}v \in \text{H}_{0i}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_d} = 0,~ u|_{\Gamma_i} = v_i\}, tel que :

∀v’∈H0i(grad,Ω),  (ε grad v,grad v’)Ω−(ρq,v’)Ω+<σqj,v’>Γj=0\forall v’ \in \text{H}_{0i}({\bf grad},\Omega),~~ \left(\varepsilon\,{\bf grad}\,v,{\bf grad}\,v’\right)_{\Omega} - \left(\rho_q,v’\right)_{\Omega} + \left<\sigma_{q_j},v’\right>_{\Gamma_j} = 0

Exemples et applications

Condensateur cylindrique

Nous disposons de tous les outils pour résoudre numériquement l’exemple classique du condensateur cylindrique du premier chapitre (cf ici).

Compte tenu des symétries, le problème pourra se résoudre en 2D axisymétrique sur une demie-géométrie, telle que représentée sur la figure ci-dessous montrant également les conditions aux limites associées ainsi qu’un exemple de maillage :

Géométrie et maillage du condensateur cylindrique

Dans ce cas, la formulation faible à résoudre se ramène à :

Trouver v∈H01(grad,Ω)={u∈H(grad,Ω):u∣Γd=0, u∣Γ1=V1}v \in \text{H}_{01}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_d} = 0,~ u|_{\Gamma_1} = V_1\}, tel que :

∀v’∈H01(grad,Ω),  (ε grad v,grad v’)Ω=0\forall v’ \in \text{H}_{01}({\bf grad},\Omega),~~ \left(\varepsilon\,{\bf grad}\,v,{\bf grad}\,v’\right)_{\Omega} = 0

Dans GetDP, cela se traduit par :

Constraint {	
  {Name TensionsImposees ;
    Case {      
      { Region Gamma1 ; Type Assign ; Value V1 ; }
      { Region Masse ; Type Assign ; Value 0 ; }
      { Region Dirichlet ; Type Assign ; Value 0 ; }
    }
  }
}

FunctionSpace {
  { Name Hgrad ; Type Form0 ; 
    BasisFunction { 
      { Name sn ; NameOfCoef vn ; Function BF_Node ; 
			Support Region[{Domaine}]  ; Entity NodesOf[All] ; }
    } 
    Constraint {
      { NameOfCoef vn ; EntityType NodesOf ; 
			NameOfConstraint TensionsImposees ; }
    }
  }
}

Formulation {
  { Name Electrostat ; Type FemEquation ;
    Quantity {
      { Name v  ; Type Local  ; NameOfSpace Hgrad ; }
    }
    Equation {
      Galerkin { [ eps[]*Dof{Grad v}  , {Grad v} ] ;
		In Domaine ; Jacobian Jvol ; Integration Integ ; }
    }
  }
}

Explications :

  1. On définit tout d’abord les contraintes sur le potentiel vv.
  2. Celles-ci permettent de définir ensuite l’espace fonctionnel dans lequel se trouve vv. On l’appelle ici Hgrad (correspond au W0W^0 du chapitre précédent) qui approxime H01(grad,Ω)\text{H}_{01}({\bf grad},\Omega). On utilise des éléments nodaux avec les fonctions de base sns_n vues précédemment.
  3. Enfin, nous définissons la forme faible du problème.

Après résolution, on obtient la distribution du potentiel scalaire électrique : v dans le domaine

Et on peut calculer la valeur de la capacité à partir de l’énergie électrostatique.

Vous pouvez télécharger les fichiers complets en cliquant ici .

Condensateurs plans

  1. Adapter l’exemple précédent pour résoudre le problème similaire du condensateur plan à armatures rectangulaires :
    • modifier la géométrie ;
    • changer de jacobien ;
    • adapter les formules de calcul de l’énergie et de capacité.
  2. Étudier également le cas d’un condensateur plan mais, cette fois, à armatures circulaires.

Potentiel Flottant

Dans des problèmes tels que définis ci-dessus, nous n’avons pas directement accès à la charge portée par les armatures (il faut nécessairement passer par des calculs post-processeur). Nous ne pouvons pas non plus proprement considérer cette charge comme une entrée du problème pour calculer la différence de potentiels associée.
Nous pourrions penser à utiliser une condition de Neumann non homogène sur l’armature portant le potentiel V1V_1 mais la valeur du potentiel résultant du calcul ne serait plus constante le long de l’armature.

Pour pallier cet inconvénient, les auteurs de GetDP ont implanté une fonctionalité très pratique : les Global quantities (grandeurs globales) qui permettent de définir ce qu’on appelle un potentiel flottant (floating potential) via un terme global (global term) dans la formulation.

Plutôt que de faire une explication un peu trop appoximative, je préfère vous renvoyer à l’exemple du wiki de ONELAB détaillant son principe de fonctionnement : Electrostatics with floating potentials :

  1. Télécharger les fichiers et lire attentivement les commentaires du .pro (oui, ça relève de la magie !).
  2. Adapter les exemples précédents pour les résoudre en potentiel flottant.

Comme je ne suis pas méchant, je vous donne la solution pour le condensateur cylindrique en cliquant ici .