Avant-propos

Maxwell House

Les éléments finis de Whitney développés à la fin du chapitre 2 nous fournissent toute une structure permettant d’accueillir parfaitement toutes les constituantes du champ électromagnétique en basse fréquence. Une figure valant mieux qu’un long discours, vous trouverez ci-dessous une version de la Maison de Maxwell (diagramme de Tonti 3D appliqué à l’électromagnétisme dans l’ARQS).

Pour vous, outre l’aspect esthétique, le principal intérêt de ce diagramme est de rapidement trouver à quel espace appartient chaque champ scalaire ou vectoriel.

$\rightsquigarrow$ Dans la suite, nous allons voir comment formuler des problèmes simples du domaine avec la méthode développée précédemment.

Électrostatique

Dans le cas de l’électrostatique (en anglais electrostatics), nous nous intéresserons au calcul de la distribution du champ électrique ${\bf e}$ due à des charges statiques ou à différents niveaux de potentiel électrique.

Les relations intervenant en électrostatique sont :

• Les équations de Maxwell en statique suivantes :

  $$\left\{\begin{aligned}\text{div}\,{\bf d} &= \rho_q\\ {\bf rot}\,{\bf e} &= {\bf 0} \end{aligned}\right.$$

• La loi de comportement dans les milieux diélectriques :

  $${\bf d} = \varepsilon\,{\bf e}$$

• Pour les conditions aux limites, c’est-à-dire aux frontières du domaine d’étude (${\partial\Omega = \Gamma = \Gamma_d\cup \Gamma_n}$), nous aurons :

  • soit, d’après la condition sur la composante tangentielle de ${\bf e}$ : $$\left.{\bf n}\wedge{\bf e}\right|_{\Gamma_d} = {\bf 0}$$
  • soit, d’après la condition sur la composante normale de ${\bf d}$ : $$\left.{\bf n}\cdot{\bf d}\right|_{\Gamma_n} = 0$$

Formulation forte

Maxwell-Faraday en statique nous permet de définir le potentiel scalaire électrique ${\bf v}$ tel que : ${{\bf e} = -{\bf grad}\,v}$

Ainsi, dans le domaine d’étude $\Omega$, l’équation satisfaite par $v$ est obtenue par substitution dans l’équation de Maxwell-Gauss :

En pratique, les conducteurs seront donc exclus du domaine d’étude et seules les conditions sur leurs bords $(\Gamma_k)$ interviendront :

• soit en tant que condition de Dirichlet où : $$v|_{\Gamma_i} = v_i$$
• soit en tant que condition de Neumann où : $$\left.\frac{\partial\,v}{\partial {\bf n}}\right|_{\Gamma_j} = {\bf grad}\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma_j} = -\frac{\sigma_{q_j}}{\varepsilon}$$

Aux frontières, nous aurons les mêmes conditions mais homogènes : $ v|_{\Gamma_d} = 0~$ ou $~{\bf grad}\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma_n} = 0$.

Finalement, la forme complète de la formulation forte à résoudre est donc :

Formulation faible

En appliquant le principe vu dans le chapitre précédent, nous en déduisons la formulation faible du problème :

Trouver $v \in \text{H}_{0i}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_d} = 0,~ u|_{\Gamma_i} = v_i \}$, tel que :

Exemples et applications

Condensateur cylindrique

Nous disposons de tous les outils pour résoudre numériquement l’exemple classique du condensateur cylindrique du premier chapitre (cf ici).

Compte tenu des symétries, le problème pourra se résoudre en 2D axisymétrique sur une demie-géométrie, telle que représentée sur la figure ci-dessous montrant également les conditions aux limites associées ainsi qu’un exemple de maillage :

Dans ce cas, la formulation faible à résoudre se ramène à :

Trouver $v \in \text{H}_{01}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_d} = 0,~ u|_{\Gamma_1} = V_1 \}$, tel que :

Dans GetDP, cela se traduit par :

Constraint {	
  {Name TensionsImposees ;
    Case {      
      { Region Gamma1 ; Type Assign ; Value V1 ; }
      { Region Masse ; Type Assign ; Value 0 ; }
      { Region Dirichlet ; Type Assign ; Value 0 ; }
    }
  }
}

FunctionSpace {
  { Name Hgrad ; Type Form0 ; 
    BasisFunction { 
      { Name sn ; NameOfCoef vn ; Function BF_Node ; 
			Support Region[{Domaine}]  ; Entity NodesOf[All] ; }
    } 
    Constraint {
      { NameOfCoef vn ; EntityType NodesOf ; 
			NameOfConstraint TensionsImposees ; }
    }
  }
}

Formulation {
  { Name Electrostat ; Type FemEquation ;
    Quantity {
      { Name v  ; Type Local  ; NameOfSpace Hgrad ; }
    }
    Equation {
      Galerkin { [ eps[]*Dof{Grad v}  , {Grad v} ] ;
		In Domaine ; Jacobian Jvol ; Integration Integ ; }
    }
  }
}

Explications :

1. On définit tout d’abord les contraintes sur le potentiel $v$.
2. Celles-ci permettent de définir ensuite l’espace fonctionnel dans lequel se trouve $v$. On l’appelle ici Hgrad (correspond au $W^0$ du chapitre précédent) qui approxime $\text{H}_{01}({\bf grad},\Omega)$. On utilise des éléments nodaux avec les fonctions de base $s_n$ vues précédemment.
3. Enfin, nous définissons la forme faible du problème.

Après résolution, on obtient la distribution du potentiel scalaire électrique :

Et on peut calculer la valeur de la capacité à partir de l’énergie électrostatique.

Vous pouvez télécharger les fichiers complets en cliquant ici .

Condensateurs plans

1. Adapter l’exemple précédent pour résoudre le problème similaire du condensateur plan à armatures rectangulaires :
   • modifier la géométrie ;
   • changer de jacobien ;
   • adapter les formules de calcul de l’énergie et de capacité.
2. Étudier également le cas d’un condensateur plan mais, cette fois, à armatures circulaires.

Potentiel Flottant

Dans des problèmes tels que définis ci-dessus, nous n’avons pas directement accès à la charge portée par les armatures (il faut nécessairement passer par des calculs post-processeur). Nous ne pouvons pas non plus proprement considérer cette charge comme une entrée du problème pour calculer la différence de potentiels associée.
Nous pourrions penser à utiliser une condition de Neumann non homogène sur l’armature portant le potentiel $V_1$ mais la valeur du potentiel résultant du calcul ne serait plus constante le long de l’armature.

Pour pallier cet inconvénient, les auteurs de GetDP ont implanté une fonctionalité très pratique : les Global quantities (grandeurs globales) qui permettent de définir ce qu’on appelle un potentiel flottant (floating potential) via un terme global (global term) dans la formulation.

Plutôt que de faire une explication un peu trop appoximative, je préfère vous renvoyer à l’exemple du wiki de ONELAB détaillant son principe de fonctionnement : Electrostatics with floating potentials :

1. Télécharger les fichiers et lire attentivement les commentaires du .pro (oui, ça relève de la magie !).
2. Adapter les exemples précédents pour les résoudre en potentiel flottant.

Comme je ne suis pas méchant, je vous donne la solution pour le condensateur cylindrique en cliquant ici .

Électrocinétique

Dans le cas de l’électrocinétique (en anglais electrokinetics ou current flow), nous nous intéresserons au calcul de la distribution de la densité volumique statique de courrant électrique ${\bf j}$ dans des conducteurs.

Les relations intervenant en électrocinétique sont :

• Les équations de Maxwell en statique suivantes :

  $$\left\{\begin{aligned}\text{div}\,{\bf j} &= 0 \\ {\bf rot}\,{\bf e} &= {\bf 0} \end{aligned}\right.$$

• La loi de comportement dans les milieux conducteurs électriques :

  $${\bf j} = \sigma\,{\bf e}$$

• Pour les conditions au limites, c’est-à-dire aux frontières du domaine d’étude $\Omega_c$, nous aurons :

  • soit, d’après la condition sur la composante tangentielle de ${\bf e}$ sur les faces d’entrée ou sortie du courant $(\Gamma_d)$ : $$\left.{\bf n}\wedge{\bf e}\right|_{\Gamma_d} = {\bf 0}$$
  • soit, d’après la condition sur la composante normale de ${\bf j}$ sur les autres bords du conducteurs $(\Gamma_n)$ : $$\left.{\bf n}\cdot{\bf j}\right|_{\Gamma_n} = 0$$

Formulation forte

Comme en électrostatique, nous pouvons définir le potentiel scalaire électrique $v$ tel que : ${{\bf e} = -{\bf grad}\,v}$.

En réinjectant cette relation couplée à la loi de comportement dans la loi des nœuds locale, on obtient :

Sur les faces d’entrée et de sortie du courant (${\Gamma_d = \Gamma_{di}\cup\Gamma_{dj}}$), deux cas seront possibles :

1. Soit une condition de potentiel imposé par une condition de Dirichlet sur $\Gamma_{di}$ de type : $$v|_{\Gamma_{di}} = v_i$$
2. Soit une condition de Neumann non-homogène imposant la densité de courant normale à la surface $\Gamma_{dj}$ : $$\left.\frac{\partial\,v}{\partial {\bf n}}\right|_{\Gamma_{dj}} = {\bf grad}\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma_{dj}} = \pm \frac{j_{n_j}}{\sigma}$$

Sur les autres bords du domaine $(\Gamma_n)$, nous aurons des conditions de Neumann homogènes : ${{\bf grad}\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma_{n}} = 0}$

Finalement, la forme complète de la formulation forte à résoudre est donc :

Formulation faible

La formulation faible correspondant à la forme forte ci-dessus est obtenue rapidement par analogie avec l’électrostatique :

Trouver $v \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_{di}} = v_i \}$, tel que :

Exemples et applications

Résistance de sole de four électrique

On considère une résistance de sole de four électrique telle que représentée ci-dessous :

On désire calculer la distribution de la densité de courant à l’intérieur lorsqu’on applique une tension de 230 V à ses bornes, afin d’en déduire sa résistance via les pertes Joule associées.

L’implantation dans GetDP ressemble beaucoup au cas précédent :

Constraint {	
  {Name Dirichlet ;
    Case {      
      {Region Sentree ; Type Assign ; Value Veff ;}
      {Region Ssortie ; Type Assign ; Value 0. ;}
    }
  }
}

FunctionSpace {
  { Name Hgrad_v ; Type Form0 ; 
    BasisFunction { 
      { Name sn ; NameOfCoef vn ; Function BF_Node ; 
		Support Region[{Domaine}]  ; Entity NodesOf[All] ; }
    } 
    Constraint {
      { NameOfCoef vn  ; EntityType NodesOf ; NameOfConstraint Dirichlet ; }
    }
  }
}


Formulation {
  { Name Electrocinetique ; Type FemEquation ;
    Quantity {
      { Name v  ; Type Local  ; NameOfSpace Hgrad_v ; }
    } 
    Equation {
      Galerkin { [ Sigma[]*Dof{Grad v}  , {Grad v} ] ;
		In Domaine ; Jacobian Jvol ; Integration Integ ; }
     }
  }
}

Après calcul, on obtient pour la répartition du potentiel scalaire électrique :

Vous pouvez télécharger les fichiers complets en cliquant ici .

Pour la petite histoire, voici une photo de celle de mon four perso après démontage pour changement suite à un défaut d’isolement :

Résistance de charge

1. Traiter le problème analogue sur une forme correspondant aux résistances de charge utilisées sur nos bancs expérimentaux :

2. En dimensionner une permettant de dissiper 5 kW sous 48 V continus.
   On pourra utiliser comme conducteur du Constantan, par exemple du 45Ni-55Cu de résistivité électrique : $\rho = 14,9\cdot 10^{-7}~\Omega\cdot\text{m}$

Busbar avec potentiel flottant

Tout comme dans le cas électrostatique de la section précédente, il est possible de définir, dans l’espace fonctionnel d’approximation $W^0$ , des grandeurs globales associées à notre inconnue $v$. Dans le cas présent, elles correspondront aux potentiels globaux $V_i$ imposés sur certaines faces du bords du domaine, ou aux courants $I_j$ traversant certaines autres.

1. En utilisant (ou pas) ces grandeurs globales, calculer la distribution de courant à l’intérieur du busbar en cuivre représenté ci-dessous lorsque qu’un courant de 2000 A arrive par le haut et se sépare en 2 fois 1000 A qui sortent par le bas. Pour éviter de perdre trop de temps, je vous fournis la géométrie (libre à vous de l’utiliser ou non) : Cliquer ici pour la télécharger .

2. Proposer des améliorations possibles du design d’un tel busbar (en terme de quantité de matière, masse, volume, pertes…).

Magnétostatique

La magnétostatique (en anglais magnetostatics) correspond au calcul de la distribution du champ ou de l’induction magnétiques produit par des courants continus ou des aimants.

Considérons le domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$ constitué de plusieurs sous-domaines schématisé par la figure :

• $\Omega_m$ correspondant à des matériaux magnétiques ;
• $\Omega_c$ correspondant à des conducteurs électriques parcourus par une densité de courant imposée par une source extérieure ${\bf j_s}$ ;
• $\Omega_a$ correspondant à des aimants permanents d’induction rémanente ${\bf b_r}$ ;
• une zone d’air entourant ses différents sous-domaines.

Et sa frontière $\Gamma (=\partial\Omega)$ est divisée en deux morceaux $\Gamma_d$ et $\Gamma_n$.

Les relations régissant la magnétostatique sont :

• Les équations de Maxwell en statique suivantes : $$\left\{\begin{aligned}\text{div}\,{\bf b} &= 0 \\ {\bf rot}\,{\bf h} &= {\bf j_s}~\text{dans } \Omega_c, \text{ et } {\bf 0} \text{ ailleurs}\end{aligned}\right.$$
• Les lois de comportements magnétiques : $$\left\{\begin{aligned}{\bf b} &= \mu_0\,{\bf h}&\text{dans l'air et }\Omega_c \\ {\bf b} &= \mu\,{\bf h} &\text{dans~}\Omega_m \\ {\bf b} &= \mu_0\mu_{ra}\, {\bf h}+{\bf b_r} &\text{dans~}\Omega_a\end{aligned}\right.$$
• Les contions aux limites, par exemple :
  • continuité de la composante normale de l’induction : ${\bf n}\cdot{\bf b} = 0$ sur $\Gamma_d$ ;
  • continuité de la composante tangentielle du champ : ${\bf n}\wedge{\bf h} = {\bf 0}$ sur $\Gamma_n$.

Formulation en potentiel vecteur magnétique

Formulation forte

${\bf b}$ étant à divergence nulle, nous avons vu dans le premier chapitre, qu’il était possible de définir un potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ tel que :

En lui associant les lois de comportement et en reportant dans l’équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

Et nos conditions aux limites peuvent se traduire par :

Formulation faible

En appliquant le principe détaillé dans le deuxième chapitre sur la formulation en rot-rot, on peut déduire la formulation faible de notre problème :

Trouver ${\bf a} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) = \{ {\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}|_{\Gamma_{d}} = 0\}$, tel que :

Formulation en potentiel scalaire magnétique

Formulation forte

Dans le cas particulier d’un problème sans densité de courant source $({\bf j_s} = {\bf 0})$, on a : ${\bf rot}\,{\bf h} = {\bf 0}$ dans tout le domaine.

On peut alors définir un potentiel scalaire magnétique $\phi$ tel que :

En lui associant les lois de comportement et en reportant dans l’équation de Maxwell-Thomson, on obtient :

Et nos conditions aux limites peuvent se traduire par :

Formulation faible

En procédant de la même façon qu’en électrostatique ou électrocinétique, on déduit la formulation faible associée :

Trouver $\phi \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ \phi \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \phi|_{\Gamma_{n}} = 0\}$, tel que :

Magnétodynamique

La magnétodynamique (en anglais magnetodynamics) correspond au calcul de la distribution du champ (ou de l’induction) magnétique et des courants induits produits par des courants variables dans le temps et/ou par des sources en mouvement (aimants ou courants).

Considérons un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$ comportant un sous-domaine $\Omega_c$ conducteur électrique, dont la frontière $\Gamma (=\partial\Omega)$ est comme précédemment divisée en deux morceaux $\Gamma_d$ et $\Gamma_n$.

Les équations qui nous concerneront seront :

• Les équations de Maxwell : $$\left\{\begin{aligned}\text{div}\,{\bf b} &= 0 \\ {\bf rot}\,{\bf h} &= {\bf j}~\text{dans } \Omega_{c}, \text{ et } {\bf 0} \text{ ailleurs} \\ {\bf rot\,e} &= -\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t} ~\text{dans }\Omega_c\end{aligned}\right.$$
• Les lois de comportements : $$\left\{\begin{aligned}{\bf b} &= \mu\,{\bf h}&\text{dans }\Omega \\ {\bf j} &= \sigma\,{\bf e} &\text{dans~}\Omega_c\end{aligned}\right.$$
• Les contions aux limites, par exemple :
  • continuité de la composante normale de l’induction : ${\bf n}\cdot{\bf b} = 0$ sur $\Gamma_d$ ;
  • continuité de la composante tangentielle du champ : ${\bf n}\wedge{\bf h} = {\bf 0}$ sur $\Gamma_n$.

Formulation forte

Le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ est défini comme précédemment et donc ${\bf b} = {\bf rot\,a}$. En le repportant dans l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient :

.

On peut donc définir dans $\Omega_c$ un champ scalaire $v$, potentiel scalaire électrique tel que ${{\bf e}-\frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t} = - {\bf grad}\,v}$, soit :

Et finalement, l’équation de Maxwell-Ampère dans $\Omega_c$ donne :

La deuxième relation permettant de résoudre est la conservation de la densité de courant dans $\Omega_c$ :

Les conditions aux limites sont analogues à celles vues en magnétostatique ou électrocinétique.

Formulation faible

En combinant les différentes approches vues dans les sections précédentes, on en déduit la formulation faible complète du problème, dite $({\bf a},v)$ :

Trouver ${\bf a} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) = \{ {\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}|_{\Gamma_{d}} = 0\}$ et $v \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_{di}} = v_i\}$, tels que :

Boîtes Infinies

Une dernière remarque avant de clôturer ce cours : vous avez peut-être remarqué dans certains des exemples précédents une bande d’éléments placée le long des frontières. Celle-ci est une technique particulière permettant de prendre parfaitement en compte les frontières « lointaines ». Elle permet ainsi de réduire le domaine d’étude du problème. On l’appelle souvent boîte infinie.

Principe avec une boîte sphérique

Il n’est pas rare que le dispositif étudié soit entouré d’une zone d’air dans laquelle les champs électriques ou magnétiques s’épanouissent, obligeant le modélisateur à éloigner les frontières pour ne pas dénaturer la forme des champs calculés. Une autre approche consiste à définir un domaine d’air réduit entouré par une coquille sphérique (spherical shell).

Le domaine d’étude $\Omega$ est alors divisé en deux parties :

• le dispositif et l’air environnant : $\Omega_i$ ;
• la boîte sphérique, de rayon intérieur $R_i$ et extérieur $R_e$, correspondant à cette coquille : $\Omega_\infty$, de bord extérieur $\Gamma_\infty$

Un exemple est donné sur la figure ci-dessous.

L’idée générale est d’appliquer une transformation bijective qui fait correspondre le reste de l’espace ($\mathbb{R}^3\backslash\Omega_i$) à la région $\Omega_\infty$ construite à partir de la relation :

où ${\bf X}$ représente le vecteur position dans la boîte $\Omega_\infty$.

La transformation $\boldsymbol{\mathcal{F}} : \mathbb{R}^3\backslash\Omega_i \to\Omega_{\infty}$ est ainsi donnée par :

Ainsi, une condition du type ${\bf b}\xrightarrow[\|{\bf x}\|\to \infty]{}{\bf 0}$ peut se ramener à imposer une condition de Dirichlet homogène sur $\Gamma_\infty$, et en s’appuyant sur la matrice jacobienne ${\bf J_{\mathcal{F}}}$ de la transformation $\boldsymbol{\mathcal{F}}$, on a la relation (dans le cas de notre exemple, avec une formulation en potentiel vecteur) :

Pour résumer : résoudre avec une boîte infinie est équivalent à résoudre sur $\mathbb{R}^3$ entier.

Dans GetDP, cela se définit simplement en choisissant le Jacobien adéquat dans la partie correspondante (sans oublier la condition de Dirichlet sur le bord).
Par exemple dans le cas présent on utilisera pour le domaine $\Omega_\infty$ : un VolAxiSphShell pour Volumic Axisymetric Spherical Shell :

Jacobian{
  { Name Jvol;
    Case {
      { Region boite_inf ; Jacobian VolAxiSphShell{Ri,Re} ;} // boîte infinie
      { Region All ; Jacobian VolAxi ; }                  // reste du domaine
    }
  }
}

Exemple de résultat

Voici la carte de la norme de l’induction et les lignes de champs associées (isovaleurs de $r\,a_{\theta}$) sur notre exemple d’un aimant permanent cylindrique (Br = 1,2 T, formulation en potentiel vecteur à l’ordre 2) :

Sans boîte infinie	Avec boîte infinie

Pour le cas sans boîte infinie, on a choisi une taille de domaine très grande devant le rayon de l’aimant. On remarquera que les résultats sont strictement identiques dans $\Omega_i$, preuve de l’efficacité de la méthode.