Magnétodynamique

La magnétodynamique (en anglais magnetodynamics) correspond au calcul de la distribution du champ (ou de l’induction) magnétique et des courants induits produits par des courants variables dans le temps et/ou par des sources en mouvement (aimants ou courants).

Considérons un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$ comportant un sous-domaine $\Omega_c$ conducteur électrique, dont la frontière $\Gamma (=\partial\Omega)$ est comme précédemment divisée en deux morceaux $\Gamma_d$ et $\Gamma_n$.

Les équations qui nous concerneront seront :

Les équations de Maxwell : $$\left\{\begin{aligned}\text{div}\,{\bf b} &= 0 \\ {\bf rot}\,{\bf h} &= {\bf j}~\text{dans } \Omega_{c}, \text{ et } {\bf 0} \text{ ailleurs} \\ {\bf rot\,e} &= -\frac{\partial\,{\bf b}}{\partial t} ~\text{dans }\Omega_c\end{aligned}\right.$$
Les lois de comportements : $$\left\{\begin{aligned}{\bf b} &= \mu\,{\bf h}&\text{dans }\Omega \\ {\bf j} &= \sigma\,{\bf e} &\text{dans~}\Omega_c\end{aligned}\right.$$
Les contions aux limites, par exemple :
- continuité de la composante normale de l’induction : ${\bf n}\cdot{\bf b} = 0$ sur $\Gamma_d$ ;
- continuité de la composante tangentielle du champ : ${\bf n}\wedge{\bf h} = {\bf 0}$ sur $\Gamma_n$.

Formulation forte

Le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ est défini comme précédemment et donc ${\bf b} = {\bf rot\,a}$. En le repportant dans l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient :

$${\bf rot}\,\left({\bf e}+\frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t}\right) = {\bf 0}$$

On peut donc définir dans $\Omega_c$ un champ scalaire $v$, potentiel scalaire électrique tel que ${{\bf e}-\frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t} = - {\bf grad}\,v}$, soit :

$$ {\bf e} = -{\bf grad}\,v - \frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t}$$

Et finalement, l’équation de Maxwell-Ampère dans $\Omega_c$ donne :

$${\bf rot}\,\left( \mu^{-1}{\bf rot\,a}\right) = \left\{\begin{aligned}-\sigma\left({\bf grad}\,v + \frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t}\right) ~ &~ \text{dans }\Omega_c \\ {\bf 0}~ &~ \text{ailleurs}\end{aligned}\right.$$

La deuxième relation permettant de résoudre est la conservation de la densité de courant dans $\Omega_c$ :

$$\text{div}\left( \sigma\left({\bf grad}\,v + \frac{\partial\,{\bf a}}{\partial t}\right)\right) = 0$$

Les conditions aux limites sont analogues à celles vues en magnétostatique ou électrocinétique.

Formulation faible

En combinant les différentes approches vues dans les sections précédentes, on en déduit la formulation faible complète du problème, dite $({\bf a},v)$ :

Trouver ${\bf a} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) = \{ {\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}|_{\Gamma_{d}} = 0\}$ et $v \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_{di}} = v_i\}$, tels que :

$$\left\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\,{\bf rot}\,{\bf a}\,,\,{\bf rot}\,{\bf a'}\right)_{\Omega} + \left(\sigma\,\partial_t\,{\bf a}\,,\,{\bf a'}\right)_{\Omega_c} + \left( \sigma\,{\bf grad}\,v \,,\, {\bf a'}\right)_{\Omega_c} = 0,~ ~ \forall\,{\bf a'} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) \\ (\sigma\,{\bf grad}\,v \,,\, {\bf grad}\,v')_{\Omega_c} + (\sigma\,\partial_t\,{\bf a} \,,\, {\bf grad}\,v')_{\Omega_c} = 0,~ ~\forall\, v' \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$

Magnétoharmonique

Dans le cas particulier où les sources sont en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$, nous pourrons utiliser la transformation complexe vue dans le chapitre 1 et résoudre directement en complexe : c’est ce qu’on appelle la magnétoharmonique (certains l’appellent « magnétostatique complexe »).

La formulation faible à résoudre est alors :

Trouver $\underline{\bf a} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) = \{ \underline{\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : \underline{\bf a}\wedge{\bf n}|_{\Gamma_{d}} = 0\}$ et $\underline{v} \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega) = \{ \underline{u} \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \underline{u}|_{\Gamma_{di}} = \underline{v_i}\}$, tels que :

$$\left\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\,{\bf rot}\,\underline{\bf a}\,,\,{\bf rot}\,\underline{\bf a'}\right)_{\Omega} + \left(\sigma\,j\omega\,\underline{\bf a}\,,\,\underline{\bf a'}\right)_{\Omega_c} + \left( \sigma\,{\bf grad}\,\underline{v} \,,\, \underline{\bf a'}\right)_{\Omega_c} = 0,~ ~ \forall\,\underline{\bf a'} \in \textbf{H}_{0}({\bf rot},\Omega) \\ (\sigma\,{\bf grad}\,\underline{v} \,,\, {\bf grad}\,\underline{v'})_{\Omega_c} + (\sigma\,j\omega\,\underline{\bf a} \,,\, {\bf grad}\,\underline{v'})_{\Omega_c} = 0,~ ~ \forall\, \underline{v'} \in \text{H}_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$

L’implantation dans GetDP n’est pas plus compliquée que ce que nous avons vu jusqu’à présent. Le passage en complexe et la fréquence associée sont précisés dans la partie « Résolution » :

Resolution {
  { Name MagnetoHarmonique_2D;
    System {
      { Name A; NameOfFormulation MagnetoHarmonique_2D;
			Type ComplexValue; Frequency freq;
      }
    }
    Operation {
      Generate[A];
      Solve[A]; 
      SaveSolution[A];
    }
  }
}

Et la multiplication par $j\omega$ dans la formulation peut-être faite (au choix) :

directement via un terme Complex[0,1]*2*Pi*freq dans les expressions ;
ou en utilisant DtDof qui permet de définir une dérivée temporelle des degrés de liberté.