Modèle continu

Espaces fonctionnels

Soit un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$, de bord $\Gamma = \partial\Omega$ tel que $\Gamma = \Gamma_d \cup \Gamma_n$, comme présenté sur la figure suivante :

Espaces des champs de carré intégrable

Nous considérons l’espace $\text{L}^2(\Omega)$ des champs scalaires $u$ de $\Omega$ défini par : $$\text{L}^2(\Omega) = \left\{ u : \iiint_\Omega u^2({\bf x})\,\text{d} \Omega < \infty \right\}$$ Il est naturellement muni d’un produit scalaire (produit interne), défini par : $$(u,v)_{\Omega} = \iiint_\Omega u({\bf x})\,v({\bf x})\,\text{d} \Omega $$ auquel est associée la norme : $$|\!| u |\!|_{\text{L}^2(\Omega)} = (u,u)_{\Omega}^{\frac{1}{2}} = \left(\iiint_\Omega u^2({\bf x})\,\text{d} \Omega\right)^{\frac{1}{2}} $$

Pour les champs vectoriels ${\bf u}$ de $\Omega$, nous pouvons faire de même avec l’espace $\textbf{L}^2(\Omega)$ : $$\textbf{L}^2(\Omega) = \left\{ {\bf u} : \iiint_\Omega |\!|{\bf u}({\bf x})|\!|^2\,\text{d} \Omega < \infty \right\}$$

Et le produit scalaire et la norme associée : $$({\bf u},{\bf v})_{\Omega} = \iiint_\Omega {\bf u}({\bf x})\cdot{\bf v}({\bf x})\,\text{d} \Omega$$ $$|\!| {\bf u} |\!|_{\textbf{L}^2(\Omega)} = ({\bf u},{\bf u})_{\Omega}^{\frac{1}{2}} = \left(\iiint_\Omega |\!| {\bf u}({\bf x})|\!|\,\text{d} \Omega\right)^{\frac{1}{2}} $$

Espaces de Sobolev

À partir des espaces précédents, on défini d’autres espaces d’intérêt par :

$$\text{H}^1(\Omega) = \left\{ u \in \text{L}^2(\Omega) : \partial_x u, \partial_y u,\partial_z u \in \text{L}^2(\Omega)\right\}$$

$$\textbf{H}^1(\Omega) = \left\{ {\bf u} \in \textbf{L}^2(\Omega) : \partial_x {\bf u}, \partial_y {\bf u},\partial_z {\bf u} \in \textbf{L}^2(\Omega)\right\}$$

Où $\partial_i$ désigne la dérivée partielle selon la coordonnée $i$ prise au sens des distributions.

Nos champs étant liés aux opérateurs ${\bf grad}$, $\text{div}$ et ${\bf rot}$, nous utiliserons plutôt les espaces définis ci-dessous :

$$\text{H}({\bf grad},\Omega) = \left\{ u \in \text{L}^2(\Omega) : {\bf grad}\,u \in \text{L}^2(\Omega)\right\} = \text{H}^1(\Omega)$$

$$\textbf{H}({\bf rot},\Omega) = \left\{ {\bf u} \in \textbf{L}^2(\Omega) : {\bf rot\,u} \in \textbf{L}^2(\Omega)\right\}$$

$$\textbf{H}(\text{div},\Omega) = \left\{ {\bf u} \in \textbf{L}^2(\Omega) : \text{div}\,{\bf u} \in \text{L}^2(\Omega)\right\}$$

On peut remarquer que $\text{H}({\bf grad},\Omega)$ est $\text{H}^1(\Omega)$ (c’est juste la notation qui change), ainsi que :

• ${\bf grad}\left(\text{H}({\bf grad},\Omega)\right) \subset \textbf{H}({\bf rot},\Omega)$,
• ${\bf rot}\left(\textbf{H}({\bf rot},\Omega)\right) \subset \textbf{H}(\text{div},\Omega)$,
• et $\text{div} \left(\textbf{H}(\text{div},\Omega)\right) \subset \text{L}^2(\Omega)$

Finalement, on voit que nos espaces sont liés par ce qu’on appelle le complexe de De Rham : $$\text{H}^1(\Omega) = \text{H}({\bf grad},\Omega) \xrightarrow[]{{\bf grad}} \textbf{H}({\bf rot},\Omega) \xrightarrow[]{{\bf rot}} \textbf{H}(\text{div},\Omega) \xrightarrow[]{\text{div}} \text{L}^2(\Omega) $$

Formulations faibles

Dans le cadre de ce cours, nous nous intéresserons principalement à deux types de problèmes détaillés ci-après. Nous verrons dans le chapitre 3 que nous pourrons toujours nous ramener à l’une ou l’autre de ces deux formulations.

div-grad

Formulation forte

Dans un premier temps, nous considérons le problème suivant. On cherche $u$ champ scalaire de $\Omega$ vérifiant la formulation forte :

$$\left\{\begin{aligned}\text{div}\left(\alpha\,{\bf grad}\,u\right) + \beta &= 0~, &\text{dans}~ \Omega\\ \left.u\right|_{\Gamma_d} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma_d \\ \left.\frac{\partial\,u}{\partial {\bf n}}\right|_{\Gamma_n} = \left.{\bf grad}\, u \cdot {\bf n} \right|_{\Gamma_n} &= \gamma~, &\text{sur}~ \Gamma_n \end{aligned}\right.$$

où $\alpha, \beta \in \text{L}^2({\Omega})$ continûment différentiables sur $\Omega$ (voire $\overline{\Omega}$), et $\gamma \in \mathcal{C}^1(\Gamma_n)$.

Formulation variationnelle

Soit $v$ champ scalaire quelconque de $\text{H}({\bf grad},\Omega)$, qu’on appelle fonction test. En multipliant l’équation de la formulation forte et en intégrant sur tout le domaine, on obtient : $$\iiint_{\Omega} \left[\text{div}\left(\alpha\,{\bf grad}\,u\right)\right]\,v~\text{d}\Omega + \iiint_{\Omega} \beta\,v ~\text{d}\Omega =0$$

En utilisant la formule de Green en grad-div : $$ \text{div}(a\,{\bf b}) = ({\bf grad}\,a)\cdot{\bf b} + (\text{div}\,{\bf b})\,a $$

on peut développer le terme de gauche pour obtenir (intégration par parties) : $$\iiint_{\Omega} -(\alpha\,{\bf grad}\,u)\cdot{\bf grad}\,v~\text{d}\Omega + \iiint_{\Omega} \text{div}(v\,\alpha\,{\bf grad}\,u)~\text{d}\Omega + \iiint_{\Omega} \beta\,v ~\text{d}\Omega =0$$

On applique alors le théorème de la divergence : $$\iiint_{\Omega} -(\alpha\,{\bf grad}\,u)\cdot{\bf grad}\,v~\text{d}\Omega + \oiint_{\Gamma} v\,\alpha\,{\bf grad}\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma + \iiint_{\Omega} \beta\,v ~\text{d}\Omega =0$$

On peut décomposer le terme surfacique en deux en utilisant la condition aux limites de Neumann pour obtenir : $$\begin{aligned}\oiint_{\Gamma} v\,\alpha\,{\bf grad}\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma &= \iint_{\Gamma_n} v\,\alpha\,{\bf grad}\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma + \iint_{\Gamma_d} v\,\alpha\,{\bf grad}\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma\\ &= \iint_{\Gamma_n} v\,\alpha\,\gamma~\text{d}\Gamma + \iint_{\Gamma_d} v\,\alpha\,{\bf grad}\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma\end{aligned}$$

On aboutit finalement à l’expression générale :

$$\iiint_{\Omega} (\alpha\,{\bf grad}\,u)\cdot{\bf grad}\,v~\text{d}\Omega - \iint_{\Gamma_n} v\,\alpha\,\gamma~\text{d}\Gamma - \iiint_{\Omega} \beta\,v ~\text{d}\Omega = \iint_{\Gamma_d} v\,\alpha\,{\bf grad}\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma$$

N’ayant aucune information sur le terme ${\bf grad}\,u$ sur $\Gamma_d$, ce terme peut être gênant pour déterminer $u$, mais nous pouvons nous en affranchir en choisissant la fonction test $v$ nulle sur $\Gamma_d$. C’est-à-dire en prenant $v \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)$ définit par :

$$\boxed{\text{H}_0({\bf grad},\Omega) = \{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|_{\Gamma_d} = 0\} =\text{H}_0^1(\Omega)}$$

Nous pouvons remarquer que $u \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)$ aussi.

Nous obtenons alors la formulation faible (ou variationnelle) de notre problème :

Cherchons $u \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)$, tel que : $$\boxed{\forall v \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega), \iiint_{\Omega} (\alpha\,{\bf grad}\,u)\cdot{\bf grad}\,v~\text{d}\Omega - \iiint_{\Omega} \beta\,v ~\text{d}\Omega - \iint_{\Gamma_n} \alpha\,\gamma\,v~\text{d}\Gamma = 0}$$

Pour simplifier la notation, on peut utiliser les produits scalaires définis en début de page, et le produit surfacique $\left<\cdot,\cdot\right>$ défini par : $$\left<u,v\right>_{\Gamma} = \iint_{\Gamma} u\,v\,\text{d}\Gamma$$

Notre formulation faible s’écrit alors :

$$\boxed{\forall v \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega), \left(\alpha\,{\bf grad}\,u,{\bf grad}\,v\right)_{\Omega} - \left(\beta,v\right)_{\Omega} - \left<\alpha\,\gamma,v\right>_{\Gamma_n} = 0}$$

Remarques importantes sur les conditions aux limites

Nous pouvons remarquer que, selon leur nature, les conditions aux limites sont traitées de façons totalement différentes.

1. Conditions de Dirichlet : Elles sont directement prises en compte via la définition de l’espace fonctionnel $\text{H}_0({\bf grad},\Omega)$ (espace des fonctions tests et de recherche de la solution).

2. Conditions de Neumann : Elles sont prises en compte via le terme surfacique $\left<\alpha\,\gamma,v\right>_{\Gamma_n}$ dans la formulation faible. Et en l’absence de ce terme, ce sont des conditions de Neumann homogènes qui s’appliquent sur $\Gamma_n$.
   C’est pourquoi, en l’absence d’une condition particulière sur un bord du domaine, la condition aux limite par défaut est une condition de Neumann homogène $\frac{\partial\,u}{\partial {\bf n}} = 0$.

rot-rot

Formulation forte

Considérons maintenant la formulation forte suivante. Cherchons un champ vectoriel ${\bf u}$ de $\Omega$ vérifiant :

$$\left\{\begin{aligned}{\bf rot}\left(\alpha\,{\bf rot}\,{\bf u}\right) + \boldsymbol{\beta} &= {\bf 0}~, &\text{dans}~ \Omega\\ \left.{\bf u}\wedge{\bf n}\right|_{\Gamma_d} &= {\bf 0}~, &\text{sur}~ \Gamma_d \\ \left.\frac{\partial\,{\bf u}}{\partial {\bf n}}\right|_{\Gamma_n} = \left.{\bf rot\,u}\wedge{\bf n}\right|_{\Gamma_n} &= \boldsymbol{\gamma}~, &\text{sur}~ \Gamma_n \end{aligned}\right.$$

où $\alpha \in \text{L}^2({\Omega})$, $\boldsymbol{\beta} \in \textbf{L}^2({\Omega})$ continûment différentiables sur $\Omega$ (voire $\overline{\Omega}$), et $\gamma \in \mathcal{C}^1(\Gamma_n)$.

Formulation variationnelle

Soit la fonction test ${\bf v}$ champ vectoriel quelconque de $\textbf{H}({\bf rot},\Omega)$. En prenant le produit scalaire de l’équation de la formulation forte par ${\bf v}$ et en intégrant sur tout le domaine, on obtient :

$$\iiint_{\Omega} \left({\bf rot}\left(\alpha\,{\bf rot}\,{\bf u}\right)\right)\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega + \iiint_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$

En utilisant la formule de Green en rot-rot : $$\text{div}({\bf a}\wedge{\bf b}) = {\bf b}\cdot{\bf rot\,a} - {\bf a}\cdot{\bf rot\,b}$$

on peut intégrer par parties le terme de gauche pour obtenir :

$$\iiint_{\Omega} \left(\alpha\,{\bf rot}\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\, v}~\text{d} \Omega - \iiint_{\Omega} \text{div}\,\left(\alpha\,{\bf rot\,u}\wedge{\bf v}\right)~\text{d} \Omega + \iiint_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$

Après application du théorème de la divergence :

$$\iiint_{\Omega} \left(\alpha\,{\bf rot}\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\, v}~\text{d} \Omega - \oiint_{\Gamma} \left(\alpha\,{\bf rot\,u}\wedge{\bf v}\right)\cdot{\bf n}~\text{d} \Gamma + \iiint_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$

En séparant les termes surfaciques et en remarquant que : $$\begin{aligned}({\bf rot\,u}\wedge{\bf v})\cdot{\bf n} &= {\bf n}\cdot({\bf rot\,u}\wedge{\bf v}) = {\bf rot\,u}\cdot({\bf v}\wedge{\bf n})\\ &= ({\bf n}\wedge{\bf rot\,u})\cdot{\bf v} = - ({\bf rot\,u}\wedge{\bf n})\cdot{\bf v}\end{aligned}$$

on obtient : $$\begin{aligned}\iiint_{\Omega} \left(\alpha\,{\bf rot}\,{\bf u}\right)&\cdot{\bf rot\, v}~\text{d} \Omega + \iiint_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega \\ &+ \iint_{\Gamma_n} \alpha\,\underbrace{\left({\bf rot\,u}\wedge{\bf n}\right)}_{\boldsymbol{\gamma}}\cdot{\bf v}~\text{d} \Gamma = \iint_{\Gamma_d} \alpha\,{\bf rot\,u}\cdot\left({\bf v}\wedge{\bf n}\right)~\text{d} \Gamma \end{aligned}$$

Comme précédemment, on peut éliminer le second terme surfacique en prenant la fonction test ${\bf v}$ et la fonction inconnue ${\bf u}$ dans $\textbf{H}_0({\bf rot},\Omega)$ défini par :

$$\boxed{ \textbf{H}_0({\bf rot},\Omega) = \{{\bf v} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : \left.{\bf v}\wedge{\bf n}\right|_{\Gamma_d} = {\bf 0} \} }$$

On aboutit à la formulation faible de notre problème :

Cherchons ${\bf u} \in \textbf{H}_0({\bf rot},\Omega)$ tel que : $$\boxed{\begin{aligned}\forall\,{\bf v} \in \textbf{H}_0({\bf rot},\Omega),~ \iiint_{\Omega} &\left(\alpha\,{\bf rot}\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\, v}~\text{d} \Omega \\&+ \iiint_{\Omega} \boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega + \iint_{\Gamma_n} \alpha\,\boldsymbol{\gamma}\cdot{\bf v}~\text{d} \Gamma = 0\end{aligned}}$$

Ou encore : $$\boxed{\forall\,{\bf v} \in \textbf{H}_0({\bf rot},\Omega),~ \left(\alpha\,{\bf rot\,u},{\bf rot\,v}\right)_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)_{\Omega} + \left<\alpha\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>_{\Gamma_n} = 0}$$

Les remarques précédentes sur les conditions aux limites restent valables :

• les conditions de type Dirichlet sont liées à la définition de l’espace fonctionnel,
• celles de type Neumann sont liées à la formulation et par défaut on est en présence d’une condition homogène telle que ${\bf rot\,u} \perp \Gamma_n$.

Aspect généraux

Dans les deux cas précédents, on peut écrire chaque formulation de la même façon, donnée par :

$$\displaystyle \forall v \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega), ~ \underbrace{\left(\alpha\,{\bf grad}\,u,{\bf grad}\,v\right)_{\Omega}}_{a(u,v)} = \underbrace{\left(\beta,v\right)_{\Omega} + \left<\alpha\,\gamma,v\right>_{\Gamma_n}}_{L(v)}$$

$$\forall\,{\bf v} \in \textbf{H}_0({\bf rot},\Omega),~ \underbrace{\left(\alpha\,{\bf rot\,u},{\bf rot\,v}\right)_{\Omega}}_{a({\bf u},{\bf v})} = \underbrace{- \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)_{\Omega} - \left<\alpha\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>_{\Gamma_n}}_{L({\bf v})} $$

Où $a(\cdot,\cdot)$ est une forme bilinéaire continue et coercive, et $L(\cdot)$ une forme linéaire continue, définies sur $V \left(= \text{H}_0({\bf grad},\Omega) ~\text{ou}~ \textbf{H}_0({\bf rot},\Omega)\right)$.

Pour simplifier, on ne conservera que la notation correspodant au premier cas ($u$ et $v$) mais ce que nous dirons sera aussi valable pour le deuxième (avec ${\bf u}$ et ${\bf v}$).

En fait, ce qu’on appelle formulation variationnelle du problème est cette forme, qu’on écrit :

$$\boxed{\left\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ u \in V ~\text{tel que :}\\ &a(u,v) = L(v),~ ~\forall\,v \in V\end{aligned}\right.}$$

La forme bilinéaire $a$ étant symétrique, résoudre la forme variationnelle est équivalent à trouver le minimum de la fonctionnelle énergétique (quadratique) définie par :

$$\boxed{J(v) = \frac{1}{2}\,a(v,v) - L(v)}$$

Soit :

$$\boxed{u = \argmin_{v \in V} J(v)}$$

En effet, on a :

$$\begin{aligned}J(u+v)-J(u) &= \frac{1}{2}\,a(u+v,u+v) - L(u+v) - \frac{1}{2}\,a(u,u) + L(u)\\ &= \cancel{\frac{1}{2}\,a(u,u)} + \underbrace{\frac{1}{2}\,a(u,v) + \frac{1}{2}\,a(v,u)}_{a(u,v)} + \frac{1}{2}\,a(v,v) - \cancel{L(u)} - L(v) - \cancel{\frac{1}{2}\,a(u,u)} + \cancel{L(u)}\\ &= \underbrace{a(u,v) - L(v)}_{\text{linéaire en}~v} + \underbrace{\frac{1}{2}\,a(v,v)}_{o(v)} \end{aligned}$$

On en déduit :

$$D J(u) v = a(u,v) - L(v)$$

La différentielle de $J$ s’annule donc en $u$, solution de notre problème (ce qui correspond bien au minimum de $J$).

On peut donc résoudre notre formulation variationnelle en cherchant à minimiser la fonctionnelle énergétique (ou une approximation de cette dernière), mais en pratique, on préfère une autre méthode pour résoudre la formulation faible : la méthode de Galerkin (dont la MEF est un cas particulier).