Nous avons vu dans la section précédente que la forme faible de chaque problème considéré pouvait se mettre sous la forme :
$$\left\{\begin{aligned}~&\text{Trouver}~ u \in V ~\text{tel que :}\\ &a(u,v) = L(v),~ ~\forall\,v \in V\end{aligned}\right.$$
$V$ étant de dimension infinie, un tel problème est particulièrement difficile à résoudre. La méthode de Galerkin consiste à résoudre la formulation faible dans un sous-espace $V_h \sub V$ de dimension finie $n_h$ possédant les mêmes propriétés, soit :
$$\left\{\begin{aligned}~&\text{Trouver}~ u_h \in V_h ~\text{tel que :}\\ &a(u_h,v_h) = L(v_h),~ ~\forall\,v_h \in V_h\end{aligned}\right.$$ où $u_h$ est une solution approchée de la solution exacte $u$.
L’idée est de résoudre cette formulation à partir d’une base $(\varphi_1,\varphi_2,\dots,\varphi_{n_h})$ de $V_h$. En décomposant $u_h$ dans cette base, on a :
$$u_h = \sum\limits_{j=1}^{n_h} u_j\,\varphi_j$$
Le principe de la méthode de Galerkin est alors d’utiliser les fonctions de base $\varphi_i$ comme fonctions test dans la formulation faible. Ainsi :
$$\begin{aligned}\forall i \in [\![1,n_h]\!]~,~ &a\left(\sum\limits_{j=1}^{n_h} u_j\,\varphi_j,\varphi_i\right) = L(\varphi_i)\\ & \sum\limits_{j=1}^{n_h} u_j\,a(\varphi_j,\varphi_i) = L(\varphi_i)\end{aligned} $$
Soit : $$\boxed{\forall i \in [\![1,n_h]\!]~,~ \sum\limits_{j=1}^{n_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\,u_j = L(\varphi_i)}$$
En définissant les vecteurs ${\bf U_h} = \left( u_i \right)_{1\leq i \leq n_h}$ et ${\bf B_h} = \big( L(\varphi_i) \big)_{1\leq i \leq n_h}$, et la matrice ${\bf A_h} = \big( a(\varphi_i,\varphi_j) \big)_{1\leq i,j\leq n_h}$, le problème peut se mettre sous la forme matricielle :
$$\boxed{{\bf A_h} \, {\bf U_h} = {\bf B_h}}$$
En résolvant ce système linéaire, on obtient alors les composantes $u_i$ de la solution approchée $u_h$ dans la base $(\varphi_i)_{1\leq i\leq n_h}$.
$\rightarrow$ La méthode des éléments finis permet d’appliquer ce principe de résolution.
On appelle élément fini le triplet $(K,P_K,\Sigma_K)$, où :
De plus, il faut qu’il existe une unique fonction de $P_K$ prenant des valeurs données aux degrés de liberté de $\Sigma_K$ : cette dernière condition définit l’unisolvance de l’élément fini $(K,P_K,\Sigma_K)$.
Nous allons maintenant voir comment mettre en place la méthode basée sur ces éléments.