Systèmes d'Équations Différentielles Linéaires

On peut appliquer la procédure précédente pour résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre \(n \geq 2\) à coefficients constants. L'équation à résoudre est de la forme :

\(y^{(n)} + a_{n-1} y^{n-1} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = b(t)\)

où \(a_i\in \mathbb{R},~i=0\dots n\), et \(b : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\).

Appliquons alors la même transformation que celle utilisée lors de la généralisation du théorème de Cauchy-Lipschitz. On pose :

\(\left\{ \begin{array}{l} x_1 = y\\ x_2 = y'\\ ~~~\vdots\\ x_{n-1} = y^{(n-2)}\\ x_{n} = y^{(n-1)} \end{array} \right.\),

Alors :

\(\left\{ \begin{array}{l} x_1' = x_2\\ x_2' = x_3\\ \vdots\\ x_{n-1}' = x_n\\ x_{n}' = - a_{n-1} x_n - \cdots - a_0 x_1 + b(t) \end{array} \right.\)

Sous forme matricielle, on obtient :

\(\underbrace{ \begin{pmatrix} x_1'\\ x_2'\\ \vdots\\ x'_{n-1}\\ x'_n \end{pmatrix}}_{X'(t)} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & 1 & \ddots &\vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1\\ -a_{0}&-a_{1}&\cdots&\cdots&-a_{n-1} \end{pmatrix}}_{\bf A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_n \end{pmatrix}}_{X(t)} + \underbrace{ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ b(t) \end{pmatrix}}_{{\bf B}(t)}\)

On retrouve alors un système de la forme étudiée précédemment, on pourra donc appliquer la même procédure pour le résoudre :

• calculer \(\exp({\bf A}(t))\),

• appliquer la formule de la résolvante,

• ne calculer que la première ligne donnant \(x_1\) (\(= y\)).