Résolutions d'ESSM

Remarque :

Comme cet exercice est le premier du module, je vous donne des indices et la solution de chaque question. Merci de jouer le jeu et de chercher de votre côté, et ainsi de ne les afficher que si nécessaire ou pour vérifier ce que vous avez trouvé.

Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre

Résoudre les équations correspondant à chaque question suivante :

Question

\(3y' + y = 0\)

Solution

\(\displaystyle y(x) = C\,e^{-\frac{1}{3x}}\), \(C \in \mathbb{R}\)

Question

\(y'-5y = 0\)

Solution

\(\displaystyle y(x) = C\,e^{5x}\), \(C \in \mathbb{R}\)

Question

\(y' = 0\)

Solution

\(y(x) = C\), \(C \in \mathbb{R}\)

Question

\(e^x y' + x y =0\)

Indice

Une intégration par partie (IPP) peut parfois s'avérer utile.

Indice

Mes exemples ne sont pas toujours super bien choisis...

Solution

Ona : \(\frac{y'}{y} = -x\,e^{-x}\)

Par IPP : \(\ln\,|y(x)| = x\,e^{-x} - \int e^{-x}\,dx + K = x\,e^{-x} + e^{-x} + K = K + (x+1)\,e^{-x}\)

Soit : \(\displaystyle y(x) = C\,e^{(x+1)\,e^{-x}}\), avec \(C \in \mathbb{R}\)

Question

\(x y' + \ln(x) y =0\)

Indice

On pourra penser à faire apparaître une forme en \(u'\,u\)...

Indice

...avec \(u(x) = \ln(x)\) par exemple.

Solution

En intégrant, on obtient : \(\ln\,|y(x)| = -\frac{1}{2} \ln^2 x + K\)

Soit : \(\displaystyle y(x) = C\,e^{-\frac{\ln^2 x}{2}},~~C \in \mathbb{R}\)

Question

\((1+\cos(x))\,y' + \sin(x)\,y = 0\) sur \(]-\pi;\pi[\), puis sur \(\mathbb{R}\).

Indice

Des fois, c'est la forme \(\dfrac{u'}{u}\) qui nous intéresse.

Solution

\(1+ \cos(x)\) s'annule en \(x = \pi\,[2\,\pi]\), on se place donc sur l'intervalle \(]-\pi;\pi[\).

On a : \(\frac{y'}{y}=\frac{-\sin(x)}{1+\cos(x)}\),

Soit : \(\ln\,|y(x)| = \ln\,| 1+\cos(x)| + K\)

Finalement : \(y(x) = C\,(1+\cos\,x),~C \in \mathbb{R},~\forall x \in ]-\pi;\pi[\).

La solution est définie en \(x = \pi\,[2\,\pi]\) et s'y annule même, on peut donc prolonger cette solution sur \(\mathbb{R}\).