Problème de Cauchy pour les équations linéaires d'ordre 1
Fondamental : Cauchy-Lipschitz appliqué aux équations linéaires d'ordre 1
L'équation différentielle linéaire \(a(x)\cdot y' + b(x)\cdot y = c(x)\) admet donc, sur un intervalle \(I\) où la fonction \(a\) ne s'annule pas, des solutions de la forme : \(y = y_1 + C\cdot e^A\) (où \(y_1\) est une solution particulière, \(C\) une constante et \(A\) une primitive de \(\tfrac{-b}{a}\)).
Considérons une condition initiale \(y(x_0)=y_0\) avec \(x_0 \in I\). Il existe une et une seule solution qui vérifie cette condition initiale, c'est celle qui correspond à la constante : \(y_0 = y_1(x_0) + C\cdot e^{A(x_0)} \Leftrightarrow C = (y_0 - y_1(x_0))\cdot e^{-A(x_0)}\).
Le problème de Cauchy a donc ici une réponse positive sur l'intervalle \(I\). Toute condition initiale donnée dans cet intervalle détermine une solution unique dans cet intervalle. Et par tout point de \(I\times\mathbb{R}\) passe une courbe intégrale et une seule.