Résolution de l'équation sans second membre
Principe de résolution
Soit l'équation différentielle sans second membre \(a\cdot y''+b\cdot y'+c\cdot y = 0\) \((E_2)\) où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes réelles ou complexes et \((a\neq 0)\).
On lui associe l'équation caractéristique suivante :
\(a\,X^2 + b\,X + c = 0\)
Pour résoudre cette équation du second degré, on utilise son discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac\).
On distingue alors deux cas :
\(\Delta\neq 0\), \((E_2)\) admet deux racines distinctes dans \(\mathbb{C}\) : \(\alpha\) et \(\beta\).
Les fonctions solutions à valeurs complexes de \((E_2)\) sont les fonctions :
\(\boxed{y(x) = \lambda\cdot e^{\alpha x} + \mu\cdot e^{\beta x}},~~~\text{où}~(\lambda,\mu) \in \mathbb{C}\)
\(\Delta= 0\), \((E_2)\) admet une racine double dans \(\mathbb{C}\).
Les fonctions solutions à valeurs complexes de (E_2) sont les fonctions :
\(\boxed{y(x) = (\lambda\cdot x + \mu)\cdot e^{\alpha x}},~~~\text{où}~(\lambda,\mu) \in \mathbb{C}\)
Remarque : Cas où le discriminant est négatif :
Si on travaille sur \(\mathbb{R}\) avec des coefficients réels, les solutions de notre équation sont aussi réelles.
Or dans le cas où \(\Delta < 0\), les deux racines de notre polynôme caractéristique sont complexes (et conjuguées l'une de l'autre). Il est donc assez déroutant de trouver une solution à valeur dans \(\mathbb{C}\) alors qu'on voudrait être dans \(\mathbb{R}\).
En fait, nous allons obtenir la solution réelle par le biais d'une petite manipulation très répandue en physique.
Méthode :
Comme nous venons de le voir, nous sommes dans le cas où :
\(y(x) = \lambda\cdot e^{\alpha x} + \mu\cdot e^{\beta x},~\text{où}~(\lambda,\mu) \in \mathbb{C}^2\)
La solution réelle de notre équation sera alors de la forme :
\(y(x) = k_1\cdot e^{\alpha x} + k_2\cdot e^{\beta x},~\text{avec}~(k_1,k_2) \in \mathbb{C}^2,~k_1 = \bar{k_2}\)
Il peut paraître étonnant d'imposer la seconde constante d'intégration en fonction de la première. En effet, dans ce cas on pourrait penser de prime abord que l'on perd un degré de liberté sur nos solutions réelles car on n'utilise plus qu'une seule constante.
En fait non, on a toujours nos deux degrés de liberté car nos constantes étant complexes, on a toujours deux choix possibles (la partie réelle et la partie imaginaire).
Regardons ce qui se passe d'un peu plus près. On peut écrire (\(\alpha = \bar{\beta}\)) :
\(\alpha=m+ip~\text{et}~\beta=m-ip\)
Soit :
\(\begin{array}{r c l} y(x) &=& k_1\cdot e^{(m+ip) x} + \bar{k_1}\cdot e^{(m-ip)x} \\ &=& e^{m x}\cdot\left(k_1\cdot e^{i p x} + \bar{k_1}\cdot e^{-i p x} \right) \\ &=& e^{m x}\cdot\left[k_1 \left(\cos(px)+i\sin(px)\right) + \bar{k_1}\left(\cos(px)-i\sin(px)\right) \right] \\ &=& e^{m x}\cdot\left[ (k_1+\bar{k_1})\cos(px) + i (k_1-\bar{k_1})\sin(px)\right]\\ &=& e^{m x}\cdot\left[ 2 \mathop{\mathrm{Re}}\{k_1\}\cos(px) - 2 \mathop{\mathrm{Im}}\{k_1\}\sin(px)\right] \end{array}\)
Finalement, on obtient :
\(\boxed{y(x) = C_1\cdot e^{m x}\cos(px) + C_2\cdot e^{m x}\sin(px)}\), avec : ,\(\left\{ \begin{array}{l} C_1 = 2 \mathop{\mathrm{Re}}\{k_1\} \in \mathbb{R}\\ C_2 = -2 \mathop{\mathrm{Im}}\{k_1\} \in \mathbb{R} \end{array} \right.\)
Notre solution est donc bien réelle avec deux constantes d'intégration.
Une autre forme de cette équation peut être utile dans certains cas, il s'agit de :
\(\boxed{y(x) = K\cdot e^{m x}\cos(px-\varphi)}\), avec : \(\left\{ \begin{array}{l} K = |C_1+iC_2|\\ \varphi = \arg(C_1+i C_2) \end{array} \right.\).
Cette dernière forme s'avère très pratique pour tracer les régimes pseudo-périodiques amortis, comme la figure ci-contre.
L'équivalence entre les deux formes présentées ici est démontrée dans le poly.
Fondamental : Résolution de l'ESSM dans le cas de coefficients réels
Lorsque les coefficients de l'équation différentielle \(a\cdot y' + b\cdot y + c = 0\) seront réels, on pourra ainsi distinguer trois cas :
\(\Delta > 0\) : \(y(x) = \lambda\cdot e^{\alpha x} + \mu\cdot e^{\beta x}\), \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2\).
\alpha et \beta étant les racines du polynôme caractéristique.
\(\Delta = 0\) : \(y(x) = (\lambda\cdot x + \mu)\cdot e^{\alpha x}\), \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2\).
\alpha étant la racine double du polynôme caractéristique.
\(\Delta < 0\) : au choix :
\(y(x) = \lambda\cdot e^{m\,x}\cos(px) + \mu\cdot e^{m\,x}\sin(p\,x)\), \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2\).
\(y(x) = K\cdot e^{m\,x}\cos(p\,x-\varphi)\), \((K,\varphi) \in \mathbb{R}^2\)
\(m\) et \(p\) étant les parties réelle et imaginaire des racines du polynôme caractéristique.