Définitions
Définition : Équation différentielle
Soit \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie \(n \in\mathbb{N}^{*}\), et \(F\) un autre espace vectoriel normé.
Une équation de la forme :
\(f(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) = 0\)
avec \(f : A \longrightarrow F\) où \(A\) est un ouvert de \(\mathbb{R} \times E^{(n+1)}\) est appelée équation différentielle d'ordre n.
Complément : En clair
En pratique et dans la totalité du cours, on prendra \(E = \mathbb{R}\), donc \(A\) ouvert de \(\mathbb{R}^{n+2}\), et \(F = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).
Concrètement, une équation différentielle est une relation entre une fonction inconnue de la variable \(x\), par exemple \(y(x)\), et ses dérivés successives.
Remarque : Notations
Le plus souvent dans ce cours, on notera la fonction \(y\), et la variable \(x\). En général, lorsqu'elle ont une origine physique, les notations sont choisies de façon à être plus significatives : \(v(t)\) pour une vitesse, \(z(t)\) pour une altitude, \(i(t)\) pour un courant de circuit, etc...
Exemple : Exemples d'équations différentielles
Équation différentielle d'ordre 1 :
\(2 \cdot y' + y = x\)
Équation différentielle d'ordre 2 :
\(x \cdot y'' -e^x \cdot y' + y^2 + \arctan(x) = 0\)
Définition : Solutions de l'équation
On appelle solution de l’équation différentielle d’ordre \(n\) précédente toute toute fonction \(\varphi : I \longrightarrow \mathbb{R}\), telle que :
\(I\) est un intervalle ouvert
\(\varphi\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\)
\(\forall x \in I, f(x,\varphi,\varphi',\varphi'',\dots,\varphi^{(n)}) = 0\)
Définition : Courbes intégrales
On appelle courbe intégrale la courbe représentative d’une solution.