Méthode de la variation de la constante
Lorsqu'il n'apparaît pas de solution évidente, on dispose d'une méthode systématique pour trouver une solution particulière.
Méthode : Variation de la constante
On a trouvé pour solution générale de l'équation sans second membre : \(y = C \cdot e^{A}\), où \(C\) est une constante. L'idée de la méthode est de chercher une solution particulière de l'équation complète sous une forme analogue, mais en remplaçant la constante \(C\) par une fonction \(C(x)\), d'où l'expression imagée « variation de la constante ».
Exemple : Le mieux est de le voir directement sur un exemple.
Résolution de l'équation différentielle : \((x-1)y' + xy = \sin(x)\).
On se place sur l'intervalle \(]-\infty;1[\) ou \(]1;\infty[\).
Comme vu précédemment, sur chacun d'eux, la solution de l'équation sans second membre est : \(y = C\frac{e^{-x}}{x-1}\).
On cherche alors une solution particulière sous la forme : \(y_1(x) = C(x)\frac{e^{-x}}{x-1}\).
On a :
\(\begin{eqnarray*} y_1'(x) &= & C'(x)\frac{e^{-x}}{x-1} + C(x)\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}}{(x-1)^2} \\ &= & C'(x)\frac{e^{-x}}{x-1}- C(x)\frac{x\cdot e^{-x}}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}\)
\((x-1)\,y_1' + xy_1 = C'(x)\cdot e^{-x} - C(x)\frac{x\cdot e^{-x}}{(x-1)} + x\cdot C(x)\frac{e^{-x}}{(x-1)}=C'(x)\cdot e^{-x}\)
L'équation étudiée se ramène donc à :
\(C'(x)\cdot e^{-x} = \sin(x) \Rightarrow C'(x)= e^{x}\sin(x)\)
Soit : \(\displaystyle C(x) = \int e^{x}\sin(x) dx\)
Calcul de \(\int e^{x}\sin(x)\,dx\) :
On effectue une intégration par partie : \(\int e^{x}\sin(x)\,dx = \left[ e^{x}\sin(x) \right] - \int e^{x}\cos(x)\,dx + K_1\)
On effectue une deuxième intégration par partie pour \(\int e^{x}\cos(x)\,dx\) :
\(\int e^{x}\cos(x)\,dx = \left[ e^{x}\cos(x) \right] - \int e^{x}\sin(x)\,dx + K_2\)
Ainsi : \(\int e^{x}\sin(x)\,dx = e^{x}\sin(x) - e^{x}\cos(x) - \int e^{x}\sin(x)\,dx + K_3\)
Soit : \(\boxed{\int e^{x}\sin(x)\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin(x) - \cos(x)\right) + K_4}\)
On obtient ainsi \(C(x)\) (la constant d'intégration \(K_4\) peut être choisie nulle car on cherche une solution particulière).
La solution particulière recherchée est donc :
\(y_1(x) = C(x)\frac{e^{-x}}{x-1} = \frac{e^x}{2}\left(\sin(x) - \cos(x)\right)\frac{e^{-x}}{x-1}= \frac{\sin(x) - \cos(x)}{2(x-1)}\)
La solution générale recherchée est finalement (sur l'intervalle considéré) :
\(\boxed{y(x) = \frac{\sin(x) - \cos(x)}{2(x-1)} + \frac{K\cdot e^{-x}}{x-1}}\)
Idem pour l'autre intervalle (à la constante \(K\) près).