Recherche d'une solution particulière de la même forme que le second membre
2nd membre sous forme d'un polynôme fois une exponentielle
Dans cette partie, nous chercherons à résoudre l'équation complète lorsque le second membre est de la forme \(P(x)\,e^{mx}\), soit :
\(a\cdot y'' + b\cdot y' + c\cdot y = P(x)\cdot e^{mx}~~~~~(E)\),
où \(P\) est un polynôme de degré \(\deg(P)\) et \(m\) un complexe donné.
Nous savons que la solution générale de l'équation \((E)\) est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation sans second membre, que nous avons étudier dans la section précédente.
Méthode :
Le principe est de rechercher une solution particulière de la même forme que le second membre, c'est-à-dire :
\(y(x) = Q(x)\cdot e^{mx}\)
où \(Q\) est un polynôme à déterminer.
Nous avons alors :
\(\begin{array}{rcl} y(x)&=&Q(x)\cdot e^{mx}\\ y'(x)&=&\left[Q'(x)+m Q(x)\right]\cdot e^{mx}\\ y''(x)&=&\left[Q''(x) + 2 m Q'(x) + m^2 Q(x)\right]\cdot e^{mx} \end{array}\)
D'où :
\(a y'' + b y' + c y = \big[a Q''(x) + (2 a m + b) Q'(x) + (a m^2 + b m + c) Q(x)\big] e^{mx}\)
\(y\) sera donc solution de l'équation \((E)\) si et seulement si :
\(a\,Q''(x) + (2 a m + b)\,Q'(x) + (a m^2 + b m + c)\,Q(x) = P(x)\)
Cas 1 : Si
\(a m^2 + b m + c \neq 0\),
on cherchera à l'aide de coefficients indéterminés un polynôme \(Q\) de même degré que \(P\).
Cas 2 : Si
\(\left\{ \begin{array}{l} a m^2 + b m + c = 0\\ 2 a m + b \neq 0 \end{array} \right.\)
(i.e. \(m\) racine simple de l'équation caractéristique), on devra chercher un polynôme de degré \((\deg(P)+1)\) vérifiant :
\(a Q''(x) + (2 a m + b) Q'(x) = P(x)\).
Cas 3 : Si
\(\left\{ \begin{array}{l} a m^2 + b m + c = 0\\ 2 a m + b = 0 \end{array} \right.\)
(i.e. \(m\) racine double de l'équation caractéristique), on devra chercher un polynôme de degré \((\deg(P)+2)\) vérifiant :
\(a Q''(x) = P(x)\). Dans ce cas, on l'obtient par deux intégrations.
Exemple : Cas 1
Équation à résoudre : \(y'' + y = x e^x\)
L'équation caractéristique est \(X^2 + 1 = 0\), les racines sont donc \(\lambda = \pm i\).
On en déduit la solution de l'équation générale sans second membre :
\(y(x) = \alpha e^{i x} + \beta e^{-i x} = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\)
On cherche une solution particulière de la forme \(y=Q(x) e^x\) :
\(\begin{array}{rcl} y(x)&=&Q(x)\cdot e^{x}\\ y'(x)&=&\left[Q'(x)+ Q(x)\right]\cdot e^{x}\\ y''(x)&=&\left[Q''(x) + 2 Q'(x) + Q(x)\right]\cdot e^{x} \end{array}\)
\(y'' + y = \left[Q''(x) + 2 Q'(x) + 2 Q(x)\right]\cdot e^{x} = x e^x\)
Comme \(m=1\) n'est pas racine du polynôme caractéristique (Cas 1), on cherche \(Q\) tel que \(\deg(Q) = \deg(P) = 1\).
Posons : \(Q(x) = a x + b~~~\Rightarrow~~~Q'(x) = a~;~~~Q''(x) = 0\)
On doit avoir :
\(\begin{array}{rcl} Q''(x) + 2 Q'(x) + 2 Q(x)&=&x\\ 2a + 2 (a x + b)&=&x \end{array} ~~~~~\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 a = 1\\ 2 a + 2 b = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \tfrac{1}{2}\\ b = -\tfrac{1}{2} \end{array} \right.\)
En définitive :
\(\boxed{y(x) = \left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\right)e^x + C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)}\)
Exemple : Cas 2
Équation à résoudre : \(y'' + y = \cos(x)\)
On pourrait croire que cette équation ne devrait pas apparaître dans cette partie, mais on se tromperait.
Le second membre est : \(\cos(x) = \mathop{\mathrm{Re}}\{e^{ix}\}\).
Cherchons donc une solution particulière de la forme \(y=Q e^{i x}\), dont on prendra ensuite la partie réelle.
\(\begin{array}{rcl} y(x)&=&Q(x)\cdot e^{i x}\\ y'(x)&=&\left[Q'(x)+ i Q(x)\right]\cdot e^{i x}\\ y''(x)&=&\left[Q''(x) + 2 i Q'(x) - Q(x)\right]\cdot e^{i x} \end{array}\)
\(y'' + y = \left[Q''(x) + 2 i Q'(x)\right]\cdot e^{i x} = e^{i x}\)
\(m = i\) étant racine simple de l'équation caractéristique (Cas 2), on cherche \(Q\) tel que \(\deg(Q) = \deg(P) + 1 = 1\).
Posons : \(Q(x) = a x + b~~~\Rightarrow~~~Q'(x) = a~;~~~Q''(x) = 0\)
On doit avoir :
\(\begin{array}{rcl} Q''(x) + 2 i Q'(x) &=&1\\ 2 i a&=&1\\ a&=&-\frac{i}{2} \end{array}\)
Une solution particulière (complexe) est donc :
\(y(x) = -\frac{i}{2} x e^{i x} = \frac{x}{2}\sin(x) - i\frac{x}{2}\cos(x)\)
La solution générale est ainsi (on ne garde que la partie réelle de la solution particulière précédente) :
\(\boxed{y(x) = \frac{x}{2}\sin(x) + C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)}\)
Exemple : Cas 3
Équation à résoudre : \(y'' + 2 y' + y = e^{-x}\)
L'équation caractéristique est \(X^2 + 2 X + 1 = 0 = (X+1)^2\). Donc -1 est racine double.
La solution générale de l'équation sans second membre est :
\(y(x) = (C_1 x + C_2)\, e^{-x}\)
Cherchons une solution particulière de la forme \(y = Q(x) e^{-x}\).
\(\begin{array}{rcl} y(x)&=&Q(x)\cdot e^{- x}\\ y'(x)&=&\left[Q'(x) - Q(x)\right]\cdot e^{- x}\\ y''(x)&=&\left[Q''(x) - 2 Q'(x) + Q(x)\right]\cdot e^{- x} \end{array}\)
\(y'' + 2 y' + y = Q''(x) e^{- x} = e^{- x}\)
\(m=-1\) étant racine double de l'équation caractéristique (Cas 3), on cherche \(Q\) tel que \(\deg(Q) = \deg(P) + 2 = 2\).
\(Q''(x) = 1\), on peut choisir \(Q'(x) = x\) et \(Q(x) = \frac{1}{2}x^2\).
Une solution particulière de l'équation est donc :
\(y(x) = \frac{x^2}{2} e^{-x}\)
Finalement, la solution générale est de la forme :
\(\boxed{y(x) = \frac{x^2}{2} e^{-x} + (C_1 x +C_2)\,e^{-x}}\)
Attention : Remarques importantes !
Ci-dessus, nous avons détaillé le cas où le second membre est de la forme \(P(x)\,e^{mx}\). Derrière celui-ci, peuvent se cacher des configurations plus générales :
Si le second membre comporte plusieurs termes de la forme \(P(x)\,e^{mx}\), il suffit de chercher une solution particulière pour chacun des termes, puis de les sommer pour obtenir la solution particulière complète du problème.
D'une manière générale, si le second membre est constitué d'une somme de plusieurs termes (quelque soit leur forme), on peut résoudre et trouver une solution particulière par terme et toutes les sommer pour obtenir la solution particulière de l'équation initiale.
Comme nous avons pu le voir dans l'exemple sur le cas 2 ci-dessus. Derrière des seconds membres de la forme \(P(x)\,e^{mx}\) peuvent se cacher les fonctions trigonométriques classique (\(\cos\) ou \(\sin\)) ou trigonométriques hyperboliques (\(\sinh\) ou \(\cosh\)). Il suffit de développer celles-ci avec les formules d'Euler pour retrouver les formes en exponentielles.
Cependant, il peut-être plus facile et plus rapide de chercher une solution particulière directement sous la même forme que le second membre dans le cas de fonctions trigonométriques. Par exemple, dans le cas 2 précédent, on peut chercher une solution de la forme \(Q_1(x)\,\cos(x) + Q_2(x)\,\sin(x)\) où \(Q_1\) et \(Q_2\) sont deux polynômes de degré 1 dont les coefficients seront déterminés par identification.
Si le second membre est d'une autre forme, ou si vous préférez utiliser une méthode systématique : appliquez la méthode de variation des constantes (exposée ci-après).