Méthode de variation des constantes
Rappel : Ce qu'on sait déjà...
On désire trouver les solutions de l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants suivante :
\(a\cdot y''+b\cdot y'+c\cdot y=d(x)~~~~~(E)\)
On sait trouver une solution de l'équation sans second membre \(y_0\), qui dans tous les cas peut se mettre sous la forme :
\(y_0 = \lambda\,y_1(x)+\mu\,y_2(x)\), \(~(\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2~\text{ou}~\mathbb{C}^2\)
Fondamental : Méthode de variation des constantes
Par un procédé analogue à celui vu pour les équations linéaires d'ordre 1, on cherchera une solution particulière \(y_p\) sous la forme :
\(y_p(x) = \lambda(x)\,y_1(x) + \mu(x)\,y_2(x)\)
Si les fonctions \(\lambda\) et \(\mu\) vérifient le système :
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \lambda'(x)\cdot y_1(x) + \mu'(x)\cdot y_2(x) = 0\\ \lambda'(x)\cdot y_1'(x) + \mu'(x)\cdot y_2'(x) = d(x)\end{array}\right.\)
alors la fonction \(y_p\) est une solution particulière de l'équation \((E)\).