Équations à variables séparables
Définition : Équations à variables séparables
Il s'agit d'équations que l'on peut mettre sous la forme : \(y'\cdot g(y) = h(x)\)
où \(g\) et \(h\) sont des fonctions continues.
Méthode : Principe de résolution
Remarque : \(y'= \frac{d\,y(x)}{dx}\)
On intègre alors les deux membres :
\(\int g(y) dy = \int h(x) dx + C\)
Et on obtient donc une relation entre \(x\) et \(y\).
Exemple :
Soit l'équation : \(y' = (1-x)\cdot(1+y^2)\), \((y \in \mathbb{R})\)
On a : \(\frac{dy}{dx} = (1-x)\cdot(1+y^2)\)
En intégrant :
\(\displaystyle \int \frac{dy}{1+y^2} = \int(1-x)\,dx\)
\(\arctan(y) = x - \frac{x^2}{2} + C\)
Soit :
\(\boxed{ y = \tan(x-\frac{x^2}{2}+C), ~~~x \in I=\left\{x\in\mathbb{R}, (x-\frac{x^2}{2}+C)\in ]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}[ \right\} }\)