Équations homogènes en (x,y) (de degré 0)
Définition : Équation homogène en (x,y)
Il s'agit d'une équation différentielle que l'on peut mettre sous la forme :
\(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\), pour \(x \neq 0\)
Méthode : Principe de résolution
Si on pose \(t = \tfrac{y}{x}\), alors \(y' = t' x + t\), et on aboutit à :
\(x\,t' = y' - t = f(t) - t\)
C'est une équation à variables séparables.
\(\dfrac{dt}{f(t)-t} = \dfrac{dx}{x}\), si \(f(t)-t\neq 0\)
S'il existe \(t_0\in\mathbb{R}\) tel que \(f(t_0) = t_0\), alors \(y =t_0\,x\) est une solution dite singulière.
Exemple :
Soit l'équation : \(x^2 y' - y^2 + 2 x^2 = 0\)
On met l'équation sous la forme \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\) :
\(y' = \left(\frac{y}{x}\right)^2 - 2\)
On pose \(t = \tfrac{y}{x}\),
\(y' = t' x + t \Rightarrow t' x + t = t^2 - 2\)
\(t' x = t^2 - t - 2 = (t+1)\,(t-2)\)
\(y=-x\) et \(y=2x\) sont des solutions singulières.
\(\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dt}{(t+1)\,(t-2)}\), si \(t\neq\{-1;2\}\).
Pour obtenir une primitive du terme de droite, on utilise une décomposition en éléments simples.
Décomposition en éléments simples (rappel) :
On procède par identification :
\(\begin{array}{l l}\dfrac{1}{(t+1)\,(t-2)} &= \dfrac{a}{t+1}+\frac{b}{t-2}\\ &= \dfrac{(a+b)\,t-2a+b}{(t+1)\,(t-2)}\end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 0 \\ - 2 a + b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = -a \\ 3a = -1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{-1}{3} \\ b = \frac{1}{3} \end{array} \right.\)
\(\boxed{\frac{1}{(t+1)\,(t-2)} = -\frac{1}{3\,(t+1)}+\frac{1}{3\,(t-2)}}\)
On a donc :
\(\displaystyle \int \frac{dx}{x}= -\int \frac{dt}{3(t+1)} + \int \frac{dt}{3(t-2)}\)
Soit :
\(\ln|x| + C = \frac{1}{3} \left(-\ln|t+1| + \ln|t-2|\right)\)
En réarrangeant :
\(3 \ln|x| + 3\,C = \ln(C_2\,|x^3|) =\ln\frac{|t-2|}{|t+1|}\)
Finalement, on obtient :
\(\frac{t-2}{t+1} = K x^3\)
La relation entre \(x\) et \(y\) est donc :
\(K x^3 = \dfrac{\tfrac{y}{x}-2}{\tfrac{y}{x}+1} = \dfrac{y - 2x}{y + x}\)
\(y\,(K x^3 -1) = -2 x - K\,x^4\)
\(\boxed{y(x) = \frac{-x\,(K x^3+2)}{K x^3 - 1}}\)
On pourra noter que la solution singulière \(y=2x\) correspond à \(K=0\) et \(y=-x\) correspond à la limite \(K \longrightarrow \pm\,\infty\).