Équations de Bernoulli
Définition : Équation de Bernoulli
Il s'agit d'une équation différentielle que l'on peut écrire sous la forme :
\(y' = a(x)\cdot y + b(x)\cdot y^m\)
où \(a\) et \(b\) sont deux fonctions continues et \(m \in \mathbb{R}^{+*}_{\backslash\{1\}}\).
Méthode : Principe de résolution
Pour trouver les solutions autre que \(y=0\), solution particulière évidente de l'équation, on pose :
\(z=\dfrac{1}{y^{m-1}}\)
En dérivant, on obtient :\(z' = (1-m)\cdot y' \cdot y^{-m} = (1-m)\frac{y'}{y^m}\)
Soit :
\(\frac{1}{1-m} z' = \frac{y'}{y^m} = \frac{a(x)\cdot y + b(x)\cdot y^m}{y^m}\)
On retrouve finalement une équation linéaire en \(z\) :
\(z' = (1-m)\cdot a(x)\cdot z + (1-m)\cdot b(x)\)
qu'on résoudra comme exposé dans la première partie de ce module.
Exemple :
Soit l'équation : \(y' = y + x \sqrt{y}\)
Ici \(m = \tfrac{1}{2}\), on pose donc \(z = \sqrt{y}\), \(y \geq 0\). L'équation différentielle devient :
\(2\,z'-z = x\)
D'où :
\(z = -x - 2 + C e^{\frac{x}{2}}\)
En définitive :\(\boxed{ \left\{ \begin{array}{l} y = 0 \\ y(x) = \left( -x - 2 + C e^{\frac{x}{2}}\right)^2 \end{array} \right. }\)