Équations de Riccati
Définition : Équation de Riccati
Il s'agit d'une équation différentielle que l'on peut écrire sous la forme :
\(y' = a(x)\cdot y^2 + b(x)\cdot y + c(x)\)
Méthode : Principe de résolution
Il faut connaître une solution particulière \(y_1\). On cherche ensuite la solution générale sous la forme \(y = y_1 + z\).
L'équation différentielle devient :
\(y_1'+z'=a(x)\cdot (y_1^2+2\,y_1\,z+z^2)+b(x)\cdot(y_1+z)+c(x)\)
D'où :
\(z' = a(x)\cdot (2\,y_1\,z+z^2)+b(x)\cdot z\)
\(z'= (2\,y_1\,a(x) + b(x))\cdot z +a(x)\cdot z^2\)
On reconnaît alors une équation de Bernoulli avec \(m=2\).
Exemple :
Soit l'équation : \(y'=(y-x)^2\)
\(y_1 = x+1\) est solution évidente. On pose donc \(y=x+1+z\), l'équation devient :
\(1+z'=(1+z)^2\), soit : \(z'= 2\,z + z^2\)
Sur un intervalle où \(z\) ne s'annule pas, on pose \(u=\tfrac{1}{z}\) :
\(z'= 2 z + z^2 ~~~\Leftrightarrow~~~ \frac{z'}{z^2} = 1 + \frac{2}{z} ~~~\Leftrightarrow~~~ -u' = 1 + 2 u\)
Soit :
\(u' + 2\,u = - 1\)
Il s'agit d'une équation linéaire à coefficients constants :
\(u = C e^{-2x}-\frac{1}{2}\)
D'où :
\(z = \frac{1}{C e^{-2x}-\frac{1}{2}}\), ou \(z=0 ~(y = y_1)\).
Finalement :
\(\boxed{\left\{ \begin{array}{l} { y(x) = x + 1 + \dfrac{1}{\left(C e^{-2x}-\frac{1}{2}\right)}}, ~~~\text{sur}~ I=\{x\in \mathbb{R}~/~C e^{-2x}-\frac{1}{2}\neq 0 \}\\ y(x) = x + 1 \end{array} \right.}\)