Cas particulier des systèmes homogènes
Définition : Système homogène
On dit qu'un système linéaire est homogène lorsqu'il ne comporte pas de second membre \({\bf B}(t)\).
Fondamental :
Dans le cas de systèmes homogènes, il y a une méthode plus simple et plus rapide qu'utiliser la formule de la résolvante (sans le terme intégral) après avoir calculé l'exponentielle de la matrice \({\bf A}\). Elle est détaillée ci-dessous.
Remarque : Trigonalisation
\({\bf A}\) étant une matrice carrée à coefficients constants réels ou complexes, on peut toujours la trigonaliser dans \(\mathbb{C}\). On pourra ainsi toujours se ramener au cas :
\({\bf P}^{-1}\cdot{\bf A}\cdot{\bf P} = {\bf T}\)
avec \({\bf T}\) qui sera une matrice :
soit diagonale (cas où \({\bf A}\) est diagonalisable, qui est un cas particulier du point suivant).
soit triangulaire supérieure (en appliquant, au choix, un procédé de réduction classique ou la décomposition sous forme de Jordan vue précédemment).
Méthode : Résolution
Le système à résoudre devient alors :
\(X'(t) = {\bf A}\cdot X(t) = {\bf P}\cdot {\bf T}\cdot{\bf P}^{-1} \cdot X(t)\)
En multipliant par \({\bf P}^{-1}\) à gauche dans l'équation précédente, on obtient :
\({\bf P}^{-1}\cdot X'(t) = \underbrace{{\bf P}^{-1}\cdot{\bf P}}_{\bf Id}\cdot{\bf T}\cdot\left({\bf P}^{-1} \cdot X(t)\right)\),
On pose alors \(Y(t) = {\bf P}^{-1} \cdot X(t)\), et on se ramène à :
\(Y'(t) = {\bf T}\cdot Y(t)\)
En notant : \(Y(t) = \begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_n(t) \end{pmatrix}\), on peut développer le système en fonction des \(y_k(t)\).
Il suffit alors de résoudre le système en commençant par la dernière ligne, c'est-à-dire \(y_n\), et remonter jusqu'à \(y_1\). En effet, pour chaque nouvelle fonction \(y_k\) à résoudre, on est face à une équation linéaire d'ordre 1 à coefficients constants (facile à résoudre).
Une fois le vecteur \(Y(t)\) connu, on obtient directement le \(X(t)\) recherché par : \(X(t) = {\bf P}\cdot{Y(t)}\).
Remarque : Intérêt de la méthode
Le principal intérêt de procéder de la façon précédente est d'éviter de calculer \(\exp({\bf A})\), ainsi que \({\bf P}^{-1}\). Elle est donc beaucoup moins lourde en calcul matriciel.