Introduction & définitions
On cherche dans cette partie à résoudre le système \((S)\) dans le cas où \({\bf A}\) est une matrice constante.
Définition : Exponentielle matricielle
On appelle exponentielle de la matrice \({\bf A}\) et on note \(\exp({\bf A})=e^{\bf A}\) la somme infinie de la série \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{{\bf A}^k}{k!}\).
Soit : \(\displaystyle\exp({\bf A})=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{{\bf A}^k}{k !}.\)
Fondamental : Propriété
\(\exp({\bf 0_n})= {\bf I_n}\)
Fondamental : Propriété
Si \({\bf A} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots &\ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots &\cdots & 0 & \lambda_n\\ \end{pmatrix}\), alors : \(\exp({\bf A})= \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} & 0 & & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots &\ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots &\cdots & 0 & e^{\lambda_n}\\ \end{pmatrix}\).
Fondamental : Propriété
Si \({\bf A}\) et \({\bf B}\) sont deux matrices qui commutent entre elles. Alors :
\(\exp({\bf A + B})= \exp({\bf A })\cdot \exp({\bf B })= \exp({\bf B })\cdot \exp({\bf A })\)
En particulier :
\(\exp({\bf -A }) = \exp({\bf A })^{-1}\)