Cas des décompositions
Fondamental : Décomposition de Dunford-Jordan
Toute matrice carrée \({\bf A}\) se décompose sous la forme : \({\bf A} = {\bf D} + {\bf N}\), avec \({\bf D}\) diagonalisable et \({\bf N}\) nilpotente qui commutent.
Attention : Calcul de l'exponentielle dans le cas général
Il en résulte :
\(\exp({\bf A}) = \exp({\bf D}) \cdot \exp({\bf N})\)
Avec :
\(\left\{ \begin{array}{l} \exp({\bf D})= {\bf P}\cdot \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} &\ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n}\\ \end{pmatrix} \cdot {\bf P}^{-1}, \\ \\ \exp({\bf N}) = {\bf I_n} + {\bf N} + \dfrac{{\bf N}^2}{2} + \cdots + \dfrac{{\bf N}^{(q-1)}}{(q-1) !} \end{array} \right.\)
\(~\)
Nous allons voir comment appliquer ceci dans la section suivante.