Cas où A est nilpotente
Définition : Matrice nilpotente
On dira qu'une matrice carrée \({\bf A}\) est nilpotente d'ordre \(q\), s'il existe \(q \in \mathbb{N}^*\) tel que :
\({\bf A}^q = {\bf 0_n}\)
Méthode : Exponentielle d'une matrice nilpotente
Dans ce cas, la série correspondant à la définition de l'exponentielle est finie (s'arrête à l'indice \(q-1\), au delà les termes sont tous nuls) et on a ainsi :
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{{\bf A}^k}{k !} = \sum_{k=0}^{q-1} \frac{{\bf A}^k}{k !} = \exp({\bf A})\)
Ainsi pour calculer l'exponentielle de notre matrice, il suffira de calculer ses puissances successives jusqu'à \(q-1\) puis d'appliquer la formule :
\(\exp({\bf A}) = {\bf I_n} + {\bf A} + \frac{{\bf A}^2}{2} + \cdots + \dfrac{{\bf A}^{(q-1)}}{(q-1) !}\)