Exponentielle d'une matrice nilpotente
Question
Calculer l'exponentielle de la matrice nilpotente suivante :
\({\bf A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Indice
Plus une remarque qu'un indice : on sait que la matrice est nilpotente car elle est triangulaire supérieure stricte (sans termes sur la diagonale principale). Pour toutes ces matrices, quand on les multiplie par elles-mêmes, on observe que la diagonale de zéros se propage vers le haut. Au bout d'un certains nombre de fois, on finit par obtenir la matrice nulle...