Systèmes d'Équations Différentielles Linéaires

Si \({\bf A = P\cdot \Delta \cdot P^{-1}}\) avec \({\bf \Delta}\) diagonale, alors pour tout \(k\) :

\({\bf A}^k = \big({\bf P}\cdot {\bf \Delta} \cdot {\bf P}^{-1}\big)^k= {\bf P}\cdot {\bf \Delta}^k \cdot {\bf P}^{-1}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{{\bf A}^k}{k !} = {\bf P}\cdot {\sum_{k=0}^{n} \frac{{\bf \Delta}^k}{k !}} \cdot {\bf P}^{-1}\)

Par passage à la limite \((n \longrightarrow \infty)\), on obtient :

\(\exp({\bf A})= {\bf P}\cdot \exp({\bf \Delta}) \cdot {\bf P}^{-1} = {\bf P}\cdot \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} & 0 & & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots &\ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots &\cdots & 0 & e^{\lambda_n}\\ \end{pmatrix} \cdot {\bf P}^{-1},\)

où les \(\lambda_i ~(i=1,..,n)\) sont les valeurs propres de \({\bf A}\).

\(~\)

Ainsi, dans le cas où \({\bf A}\) est diagonalisable, il est facile de calculer son exponentielle par diagonalisation.